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10 Un cas périodique
Ceci peut se formuler de la façon suivante : pour une EDP associée formellement à un problème de minimisation strictement convexe, l’unicité est claire
si on se restreint aux fonctions appartenant à l’espace d’énergie (ici H
1 (IR
3 )).
Autrement dit, la question n’est réellement intéressante que si on s’autorise à
regarder des solutions n’appartenant pas à cet espace d’énergie. Par exemple,
on prend pour m une fonction L
2 (IR
3 ) et on se demande s’il n’existerait pas
de solution non H
1 (IR
3 ) ; ou encore, on prend pour m une fonction périodique
(non nulle), et la question d’unicité prend alors tout son sens.
A partir de maintenant, nous supposons que l’exposant p est strictement supérieur à 1, ceci jouera un rôle essentiel dans la suite (voir la Remarque 10.14).
Avant de traiter cette question (difficile) de l’unicité pour (10.15), nous devons
introduire un outil, standard dans ce genre de problèmes : l’inégalité de Kato
(et certaines inégalités du même type). Commençons donc par rappeler cette
inégalité.
Soit F une fonction convexe de classe C
2 de IR dans IR. Il est facile de voir
que pour toute fonction u de classe C
2 sur Ω ⊂ IR
3 (par exemple), on a
∆F (u) = F
(u)∆u + F
(u)|∇u|
2 ,
donc
∆F (u) ≥ F
(u)∆u.
En approchant la fonction t → t + par une suite de telles fonctions F , on en
déduit
∆u + ≥ sgn + (u)∆u,
(10.17)
où la fonction sgn + (t) est définie par
sgn + =
0, si t < 0,
1, si t > 0.
(10.18)
De même,
∆u − ≥ sgn − (u)∆u,
(10.19)
où
sgn − =
−1,
si t < 0,
0,
si t > 0.
(10.20)
En écrivant alors que u = u + − u − et |u| = u + + u − , on obtient comme
conséquence l’inégalité :
Lemme 10.11 (Inégalité de Kato)
−∆|u| ≤ (−∆u) sgn(u).