10.3 Le cas Thomas-Fermi
271
inf
Ω
|∇u|
2 +
1
p + 1
Ω
|u|
p+1
−
Ω
u m, u ∈ H
1 (Ω), u| ∂Ω = η
(10.14)
donne naissance à une solution de (10.9), différente pour chaque donnée au
bord η ∈ H
1/2 (∂Ω).
En revanche, nous allons maintenant voir que si on pose l’équation (10.9) sur
IR
3 tout entier, alors il n’y a plus qu’une seule solution (en guise d’exercice,
on essaiera intuitivement de comprendre pourquoi...). On va voir que les raisonnements sont dans le même esprit, mais qu’ils sont un peu plus techniques.
10.3 Le cas Thomas-Fermi
Cette fois la question que nous considérons est : si m est une fonction de
classe C
0,α , α > 0, une solution u continue de
−∆u + |u|
p−1 u = m
(10.15)
au sens des distributions sur IR
3 est-elle unique ?
En écho à la Remarque 10.1, une remarque élémentaire s’impose. Prenons p ≤
3 (voir la Remarque 10.10 à ce sujet). Si on se donne au départ une fonction
m ∈ L
2 (IR
3 ) ∩ L
6/5 (IR
3 ) (par exemple), alors il est clair que le minimiseur du
problème de minimisation
inf
I R 3
|∇u|
2 +
1
p + 1
I R 3
|u|
p+1
−
I R 3
mu, u ∈ H
1 (IR
3 )
.
(10.16)
est une solution de l’équation en question et l’unicité d’une telle solution dans
H
1 (IR
3 ) est évidente. En effet, on a alors −∆u ∈ L
2 (IR
3 ) d’après l’équation et
donc, en utilisant par exemple le fait que la transformation de Fourier est une
isométrie sur L
2 (IR
3 ),
I R 3
−∆u u =
I R 3
|ξ|
2
|ˆ u|
2 =
I R 3
|∇u|
2 . Les manipulations faites sur un ouvert borné au début de la Section 10.2 sont donc encore
valables et on conclut à l’unicité.
Remarque 10.10 Plus généralement, si on suppose p ≤ 5 et si on prend
n’importe quelle fonction m qui soit telle que la solution de (10.15) soit dans
H
1 (IR
3 ), alors une telle solution est unique. Il suffit alors de raisonner comme
ci-dessus, en remarquant que cette fois −∆u ∈ H
−1 (IR
3 ) et en remplaçant
l’intégrale
I R 3
−∆u u par le crochet de dualité entre H
−1 et H
1 . On ferait une
adaptation du même ordre dans le dernier terme du problème de minimisation
(10.16). On peut de même traiter le cas p ≥ 5 sous réserve de travailler dans
l’espace H
1 (IR
3 ) ∩ L
p+1 (IR
3 )
271
inf
Ω
|∇u|
2 +
1
p + 1
Ω
|u|
p+1
−
Ω
u m, u ∈ H
1 (Ω), u| ∂Ω = η
(10.14)
donne naissance à une solution de (10.9), différente pour chaque donnée au
bord η ∈ H
1/2 (∂Ω).
En revanche, nous allons maintenant voir que si on pose l’équation (10.9) sur
IR
3 tout entier, alors il n’y a plus qu’une seule solution (en guise d’exercice,
on essaiera intuitivement de comprendre pourquoi...). On va voir que les raisonnements sont dans le même esprit, mais qu’ils sont un peu plus techniques.
10.3 Le cas Thomas-Fermi
Cette fois la question que nous considérons est : si m est une fonction de
classe C
0,α , α > 0, une solution u continue de
−∆u + |u|
p−1 u = m
(10.15)
au sens des distributions sur IR
3 est-elle unique ?
En écho à la Remarque 10.1, une remarque élémentaire s’impose. Prenons p ≤
3 (voir la Remarque 10.10 à ce sujet). Si on se donne au départ une fonction
m ∈ L
2 (IR
3 ) ∩ L
6/5 (IR
3 ) (par exemple), alors il est clair que le minimiseur du
problème de minimisation
inf
I R 3
|∇u|
2 +
1
p + 1
I R 3
|u|
p+1
−
I R 3
mu, u ∈ H
1 (IR
3 )
.
(10.16)
est une solution de l’équation en question et l’unicité d’une telle solution dans
H
1 (IR
3 ) est évidente. En effet, on a alors −∆u ∈ L
2 (IR
3 ) d’après l’équation et
donc, en utilisant par exemple le fait que la transformation de Fourier est une
isométrie sur L
2 (IR
3 ),
I R 3
−∆u u =
I R 3
|ξ|
2
|ˆ u|
2 =
I R 3
|∇u|
2 . Les manipulations faites sur un ouvert borné au début de la Section 10.2 sont donc encore
valables et on conclut à l’unicité.
Remarque 10.10 Plus généralement, si on suppose p ≤ 5 et si on prend
n’importe quelle fonction m qui soit telle que la solution de (10.15) soit dans
H
1 (IR
3 ), alors une telle solution est unique. Il suffit alors de raisonner comme
ci-dessus, en remarquant que cette fois −∆u ∈ H
−1 (IR
3 ) et en remplaçant
l’intégrale
I R 3
−∆u u par le crochet de dualité entre H
−1 et H
1 . On ferait une
adaptation du même ordre dans le dernier terme du problème de minimisation
(10.16). On peut de même traiter le cas p ≥ 5 sous réserve de travailler dans
l’espace H
1 (IR
3 ) ∩ L
p+1 (IR
3 )