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10 Un cas périodique
Remarquons d’abord que dans les conditions où nous nous plaçons, la fonction
u solution de (10.9) est nécessairement de classe C
2 . C’est une conséquence
d’arguments déjà donnés au Chapitre 2. En effet, par le théorème de régularité
elliptique (estimée L
p ), on obtient d’abord que ∆u ∈ L
2 , ce dont on déduit
que u ∈ W
2,2 (Ω) et donc en particulier u ∈ C
0,β ( ¯
Ω) pour β <
3
2 . Vu la
régularité de m, il en résulte que ∆u ∈ C
0,ε , pour ε > 0 petit. En utilisant
encore la régularité elliptique (estimée de Schauder cette fois), on a donc u de
classe C
2,ε et donc a fortiori de classe C
2 .
Soient maintenant deux solutions u et v de (10.9). Notre but est de montrer
u = v, et la stratégie que nous allons employer est de portée très générale.
Considérons l’ensemble ouvert
A = {x ∈ Ω, u(x) > v(x)} .
Comme u et v sont toutes les deux nulles au bord de Ω, on est assuré du fait
que la différence w = u − v est nulle au bord ∂A de A. De plus, par définition
de A, w ≥ 0 dans A.
Nous prétendons maintenant que −∆w ≤ 0 sur A. En effet, on a
−∆w = −∆(u − v) = |v|
p−1 v − |u|
p−1 u,
et comme u ≥ v dans A, on a donc −∆w ≤ 0 dans A. En appliquant le
principe du maximum (Lemme 10.5) sur A, nous obtenons donc w ≤ 0 dans
A, et donc finalement w = 0 dans A. Ceci montre que l’on a u ≤ v partout
dans Ω. En échangeant les rôles de u et v dans le raisonnement précédent, on
obtient u ≡ v et l’unicité recherchée.
Remarque 10.8 Retenir cette astuce basique de permuter le rôle des deux
fonctions.
Remarque 10.9 Il est important de noter que ce résultat d’unicité est vrai
aussi dans le cas linéaire, c’est-à-dire pour p = 1 (la preuve fonctionne telle
quelle). Dans la suite nous verrons des résultats d’unicité qui sont vrais dans le
cas non linéaire (p > 1) mais pas dans le cas linéaire. D’une certaine manière,
la non linéarité force alors l’unicité.
La solution unique que nous avons obtenue est en fait la fonction minimisant
le problème suivant
inf
Ω
|∇u|
2 +
1
p + 1
Ω
|u|
p+1
−
Ω
u m, u ∈ H
1
0 (Ω)
.
(10.13)
Il est donc important de comprendre que, dans ce cas d’un ouvert borné Ω, il
y a au moins autant de solutions à l’équation (10.9) que de données possibles
au bord, puisque chaque problème de minimisation
10 Un cas périodique
Remarquons d’abord que dans les conditions où nous nous plaçons, la fonction
u solution de (10.9) est nécessairement de classe C
2 . C’est une conséquence
d’arguments déjà donnés au Chapitre 2. En effet, par le théorème de régularité
elliptique (estimée L
p ), on obtient d’abord que ∆u ∈ L
2 , ce dont on déduit
que u ∈ W
2,2 (Ω) et donc en particulier u ∈ C
0,β ( ¯
Ω) pour β <
3
2 . Vu la
régularité de m, il en résulte que ∆u ∈ C
0,ε , pour ε > 0 petit. En utilisant
encore la régularité elliptique (estimée de Schauder cette fois), on a donc u de
classe C
2,ε et donc a fortiori de classe C
2 .
Soient maintenant deux solutions u et v de (10.9). Notre but est de montrer
u = v, et la stratégie que nous allons employer est de portée très générale.
Considérons l’ensemble ouvert
A = {x ∈ Ω, u(x) > v(x)} .
Comme u et v sont toutes les deux nulles au bord de Ω, on est assuré du fait
que la différence w = u − v est nulle au bord ∂A de A. De plus, par définition
de A, w ≥ 0 dans A.
Nous prétendons maintenant que −∆w ≤ 0 sur A. En effet, on a
−∆w = −∆(u − v) = |v|
p−1 v − |u|
p−1 u,
et comme u ≥ v dans A, on a donc −∆w ≤ 0 dans A. En appliquant le
principe du maximum (Lemme 10.5) sur A, nous obtenons donc w ≤ 0 dans
A, et donc finalement w = 0 dans A. Ceci montre que l’on a u ≤ v partout
dans Ω. En échangeant les rôles de u et v dans le raisonnement précédent, on
obtient u ≡ v et l’unicité recherchée.
Remarque 10.8 Retenir cette astuce basique de permuter le rôle des deux
fonctions.
Remarque 10.9 Il est important de noter que ce résultat d’unicité est vrai
aussi dans le cas linéaire, c’est-à-dire pour p = 1 (la preuve fonctionne telle
quelle). Dans la suite nous verrons des résultats d’unicité qui sont vrais dans le
cas non linéaire (p > 1) mais pas dans le cas linéaire. D’une certaine manière,
la non linéarité force alors l’unicité.
La solution unique que nous avons obtenue est en fait la fonction minimisant
le problème suivant
inf
Ω
|∇u|
2 +
1
p + 1
Ω
|u|
p+1
−
Ω
u m, u ∈ H
1
0 (Ω)
.
(10.13)
Il est donc important de comprendre que, dans ce cas d’un ouvert borné Ω, il
y a au moins autant de solutions à l’équation (10.9) que de données possibles
au bord, puisque chaque problème de minimisation