10.2 Le cas le plus simple sur un ouvert borné
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particulier sur ∂Ω, le résultat est trivial. Sinon, il est nécessairement atteint en
un point de Ω. On considère alors l’ensemble A = {x ∈ Ω, u(x) = sup Ω u} qui
est par construction un fermé de Ω, non vide par hypothèse. Le Lemme 10.2
montre aisément qu’il est aussi ouvert, et on conclut donc A = Ω, ce qui
montre que u ≡ sup Ω u et (10.12) est donc vérifiée.
Remarque 10.6 La preuve que nous venons de faire montre en fait mieux
que (10.12). Elle montre que si u atteint son maximum en un point de Ω
(l’ouvert), alors u est constante. En fait, ce dernier résultat est connu sous
le nom de principe du maximum fort, alors que (10.12) est dit principe du
maximum faible. Comme c’est la forme (10.12) qui est généralisable à la
majorité des opérateurs elliptiques et à la notion de solution faible d’une EDP,
nous avons préféré énoncer le principe du maximum sous la forme du lemme
10.5. En particulier, le lecteur retiendra que, pour un ouvert borné régulier, si
une fonction u ∈ H
1 (Ω) vérifie −∆u ≤ 0 au sens des distributions, et u ≤ 0
presque partout sur ∂Ω, alors u ≤ 0 presque partout dans Ω. Il retiendra
aussi qu’on peut énoncer des principes du maximum dans des cadres beaucoup
moins réguliers.
Remarque 10.7 Nous pouvons maintenant justifier la dénomination de sousharmonique pour une fonction u vérifiant −∆u ≤ 0. Soit en effet u une telle
fonction, définie sur la boule B(0, R), très régulière, et supposons qu’elle vérifie
∂B(0,R)
∂u
∂n
= 0. Soit v une fonction harmonique qui coïncide avec u sur
le bord de B(0, R) (ceci n’est possible que si la condition intégrale ci-dessus
est vérifiée, d’où la nécessité de cette condition un peu technnique). Alors, on
voit que −∆(u − v) ≤ 0 alors que u − v = 0 sur le bord de la boule. Par
conséquent, le principe du maximum entraine que u ≤ v dans toute la boule.
En d’autres termes, la fonction u est sous les fonctions harmoniques. D’où la
dénomination.
10.2.2 Application
On rappelle que notre question est la suivante. On se place sur Ω ouvert
borné de bord régulier dans IR
3 , on fixe une fonction m de classe C
0,α , α > 0,
sur ¯
Ω (c’est une condition technique pour appliquer notre version simplifiée
du principe du maximum, mais d’autres m bien moins régulières que ceci
conviendraient). Nous voulons savoir si la solution u ∈ H
1
0 (Ω) de (10.9), c’està-dire
−∆u + |u|
p−1 u = m
est unique.
Dans cette équation, on prend l’exposant p ≥ 1 ce qui est essentiel pour la
suite, et pour fixer les idées (mais cette fois il s’agit d’une condition technique
qui peut être enlevée), on prend p ≤ 3.
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particulier sur ∂Ω, le résultat est trivial. Sinon, il est nécessairement atteint en
un point de Ω. On considère alors l’ensemble A = {x ∈ Ω, u(x) = sup Ω u} qui
est par construction un fermé de Ω, non vide par hypothèse. Le Lemme 10.2
montre aisément qu’il est aussi ouvert, et on conclut donc A = Ω, ce qui
montre que u ≡ sup Ω u et (10.12) est donc vérifiée.
Remarque 10.6 La preuve que nous venons de faire montre en fait mieux
que (10.12). Elle montre que si u atteint son maximum en un point de Ω
(l’ouvert), alors u est constante. En fait, ce dernier résultat est connu sous
le nom de principe du maximum fort, alors que (10.12) est dit principe du
maximum faible. Comme c’est la forme (10.12) qui est généralisable à la
majorité des opérateurs elliptiques et à la notion de solution faible d’une EDP,
nous avons préféré énoncer le principe du maximum sous la forme du lemme
10.5. En particulier, le lecteur retiendra que, pour un ouvert borné régulier, si
une fonction u ∈ H
1 (Ω) vérifie −∆u ≤ 0 au sens des distributions, et u ≤ 0
presque partout sur ∂Ω, alors u ≤ 0 presque partout dans Ω. Il retiendra
aussi qu’on peut énoncer des principes du maximum dans des cadres beaucoup
moins réguliers.
Remarque 10.7 Nous pouvons maintenant justifier la dénomination de sousharmonique pour une fonction u vérifiant −∆u ≤ 0. Soit en effet u une telle
fonction, définie sur la boule B(0, R), très régulière, et supposons qu’elle vérifie
∂B(0,R)
∂u
∂n
= 0. Soit v une fonction harmonique qui coïncide avec u sur
le bord de B(0, R) (ceci n’est possible que si la condition intégrale ci-dessus
est vérifiée, d’où la nécessité de cette condition un peu technnique). Alors, on
voit que −∆(u − v) ≤ 0 alors que u − v = 0 sur le bord de la boule. Par
conséquent, le principe du maximum entraine que u ≤ v dans toute la boule.
En d’autres termes, la fonction u est sous les fonctions harmoniques. D’où la
dénomination.
10.2.2 Application
On rappelle que notre question est la suivante. On se place sur Ω ouvert
borné de bord régulier dans IR
3 , on fixe une fonction m de classe C
0,α , α > 0,
sur ¯
Ω (c’est une condition technique pour appliquer notre version simplifiée
du principe du maximum, mais d’autres m bien moins régulières que ceci
conviendraient). Nous voulons savoir si la solution u ∈ H
1
0 (Ω) de (10.9), c’està-dire
−∆u + |u|
p−1 u = m
est unique.
Dans cette équation, on prend l’exposant p ≥ 1 ce qui est essentiel pour la
suite, et pour fixer les idées (mais cette fois il s’agit d’une condition technique
qui peut être enlevée), on prend p ≤ 3.