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10 Un cas périodique
Fig. 10.2. Le lemme de la valeur moyenne : pour une fonction “convexe”, l’intégrale
de la fonction sur la boule (ou sur la sphère) est supérieure à ce qu’elle serait si la
valeur de la fonction était prise constante, égale à sa valeur au centre.
Comme par ailleurs, on a, en appliquant la formule de Green,
∂B(x,r)
∂u
∂n
=
B(x,r)
∆u ≥ 0,
on en déduit
∂
∂r
1
r 2
∂B(x,r)
u
≥ 0,
et donc
1
R 2
∂B(x,R)
u ≥ lim
r−→0
1
r 2
∂B(x,r)
u
= 4πu(x),
ce qui donne (10.10) et conclut la preuve du lemme 10.2.
A l’aide du lemme 10.2, nous prouvons notre premier principe du maximum,
à savoir :
Lemme 10.5 (Principe du maximum faible) Soit Ω un ouvert borné de
IR
3 . Si u est une fonction de classe C
2
loc sur Ω et continue sur ¯
Ω qui vérifie
−∆u ≤ 0 sur Ω, alors on a l’égalité dans IR ∪ {+∞}
sup
∂Ω
u = sup
Ω
u.
(10.12)
Bien sûr, le lecteur a déjà compris que ce lemme entraîne en particulier le
résultat que nous annoncions plus haut : si la fonction est nulle au bord, elle
est donc négative partout.
La preuve du Lemme 10.5 est directe à partir du lemme 10.2. Commençons
par remarquer que l’on peut sans perte de généralité, quitte à raisonner par
composante connexe, supposer que Ω est connexe. Si sup ¯
Ω u est atteint en