10.2 Le cas le plus simple sur un ouvert borné
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du style : si le Laplacien est positif, la fonction est “convexe” (les guillemets
sont importants, car cette notion est différente de la convexité au sens habituel
-plus faible en fait que celle-ci-, on dit plus précisément que la fonction est
sous-harmonique, voir les Remarques 10.4 et 10.7 ci-dessous) et donc si elle
est nulle au bord d’un domaine, elle sera négative sur tout le domaine. Il reste
bien sûr à formaliser ceci, et à le généraliser. Nous allons donner quelques
éléments dans ce sens, et encore une fois on renverra à la littérature pour les
preuves des résultats les plus pointus sur le sujet.
Commençons par ce résultat très simple, connu sous le nom de Théorème de la
valeur moyenne, et qui sous-tend l’intégralité des résultats que nous donnerons
par la suite.
Lemme 10.2 (dit de la valeur moyenne) Soit Ω un ouvert borné de IR
3 .
Soit x ∈ Ω et R > 0 tel que l’adhérence de la boule B(x, R) centrée en x et
de rayon R soit incluse dans Ω. Si u est une fonction de classe C
2 sur Ω qui
vérifie −∆u ≤ 0 sur Ω, alors
u(x) ≤
1
4πR 2
∂B(x,R)
u,
(10.10)
u(x) ≤
1
4/3 πR 3
B(x,R)
u.
(10.11)
Remarque 10.3 Encore une fois, le même résultat tient sur IR
N , N quelconque, quitte à modifier les constantes et les exposants de R dans les formules
(10.10) et (10.11).
Remarque 10.4 Bien noter que la même conclusion serait vraie pour une
fonction convexe (sans les guillemets !), mais l’hypothèse qu’on fait ici est
plus faible.
La preuve de ce lemme est courte et nous la donnons maintenant. On commence par remarquer qu’il suffit de prouver (10.10) puisque (10.11) s’obtient
à partir de (10.10) en écrivant 4πr
2 u(x) ≤
∂B(x,r)
u et intégrant les deux
membres de r = 0 à r = R. Pour montrer (10.10), nous écrivons, pour
0 < r < R, en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) autour de x,
∂B(x,r)
∂u
∂n
=
θ∈[0,π[
φ∈[0,2π[
∂u
∂r
r
2 sin θ dθ dϕ
= r
2 ∂
∂r
θ∈[0,π[
φ∈[0,2π[
u sin θ dθ dϕ
= r
2 ∂
∂r
1
r 2
∂B(x,r)
u
.
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du style : si le Laplacien est positif, la fonction est “convexe” (les guillemets
sont importants, car cette notion est différente de la convexité au sens habituel
-plus faible en fait que celle-ci-, on dit plus précisément que la fonction est
sous-harmonique, voir les Remarques 10.4 et 10.7 ci-dessous) et donc si elle
est nulle au bord d’un domaine, elle sera négative sur tout le domaine. Il reste
bien sûr à formaliser ceci, et à le généraliser. Nous allons donner quelques
éléments dans ce sens, et encore une fois on renverra à la littérature pour les
preuves des résultats les plus pointus sur le sujet.
Commençons par ce résultat très simple, connu sous le nom de Théorème de la
valeur moyenne, et qui sous-tend l’intégralité des résultats que nous donnerons
par la suite.
Lemme 10.2 (dit de la valeur moyenne) Soit Ω un ouvert borné de IR
3 .
Soit x ∈ Ω et R > 0 tel que l’adhérence de la boule B(x, R) centrée en x et
de rayon R soit incluse dans Ω. Si u est une fonction de classe C
2 sur Ω qui
vérifie −∆u ≤ 0 sur Ω, alors
u(x) ≤
1
4πR 2
∂B(x,R)
u,
(10.10)
u(x) ≤
1
4/3 πR 3
B(x,R)
u.
(10.11)
Remarque 10.3 Encore une fois, le même résultat tient sur IR
N , N quelconque, quitte à modifier les constantes et les exposants de R dans les formules
(10.10) et (10.11).
Remarque 10.4 Bien noter que la même conclusion serait vraie pour une
fonction convexe (sans les guillemets !), mais l’hypothèse qu’on fait ici est
plus faible.
La preuve de ce lemme est courte et nous la donnons maintenant. On commence par remarquer qu’il suffit de prouver (10.10) puisque (10.11) s’obtient
à partir de (10.10) en écrivant 4πr
2 u(x) ≤
∂B(x,r)
u et intégrant les deux
membres de r = 0 à r = R. Pour montrer (10.10), nous écrivons, pour
0 < r < R, en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) autour de x,
∂B(x,r)
∂u
∂n
=
θ∈[0,π[
φ∈[0,2π[
∂u
∂r
r
2 sin θ dθ dϕ
= r
2 ∂
∂r
θ∈[0,π[
φ∈[0,2π[
u sin θ dθ dϕ
= r
2 ∂
∂r
1
r 2
∂B(x,r)
u
.