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10 Un cas périodique
donc la question : si Ω est un ouvert borné de bord régulier, m une fonction
de classe C
0,α , α > 0, sur ¯
Ω, la solution u ∈ H
1
0 (Ω) de
−∆u + |u|
p−1 u = m
(10.9)
est-elle unique ?
Compte-tenu du fait qu’on s’intéresse à des solutions H
1
0 (Ω), commençons par
noter qu’une preuve simple avec les outils dont nous disposons est possible.
En effet, si u et v sont deux solutions, on obtient facilement en intégrant sur
Ω :
Ω
|∇(u − v)|
2 +
Ω
(|u|
p−1 u − |v|
p−1 v)(u − v) = 0,
où il est facile de voir que chacune des intégrandes est positive ou nulle dans
Ω. On en déduit u = v.
Remarque 10.1 Nous verrons plus loin que la même preuve est valable si
Ω = IR
3 .
Cette preuve simple fait appel à deux ingrédients : la sommabilité de la fonction solution qu’on considère et le fait qu’on a une condition au bord fixée.
Afin de préparer l’avenir où nous étudierons des cas plus délicats, nous allons
refaire la preuve de l’unicité, mais cette fois sous une forme passant par le
principe du maximum et qui pourra être étendue. Dans ce cas simple, la
réponse va venir d’une forme basique du principe du maximum, que nous
allons rappeler maintenant.
10.2.1 Le principe du maximum
Le principe du maximum pour les équations aux dérivées partielles elliptiques
(on définira ce qualificatif plus loin) est la généralisation dans IR
N , N > 1,
du résultat simplissime suivant : si une fonction réelle de la variable réelle est
nulle aux deux bornes d’un intervalle et convexe sur cet intervalle, alors elle
est négative sur tout cet intervalle. Le dessin générique est celui de la Figure
10.1
Ce qui va en dimension N > 1 jouer le rôle que joue la dérivée seconde en
dimension 1, c’est le Laplacien. Essentiellement, on va appliquer un argument
Fig. 10.1. Principe du maximum en dimension 1.
10 Un cas périodique
donc la question : si Ω est un ouvert borné de bord régulier, m une fonction
de classe C
0,α , α > 0, sur ¯
Ω, la solution u ∈ H
1
0 (Ω) de
−∆u + |u|
p−1 u = m
(10.9)
est-elle unique ?
Compte-tenu du fait qu’on s’intéresse à des solutions H
1
0 (Ω), commençons par
noter qu’une preuve simple avec les outils dont nous disposons est possible.
En effet, si u et v sont deux solutions, on obtient facilement en intégrant sur
Ω :
Ω
|∇(u − v)|
2 +
Ω
(|u|
p−1 u − |v|
p−1 v)(u − v) = 0,
où il est facile de voir que chacune des intégrandes est positive ou nulle dans
Ω. On en déduit u = v.
Remarque 10.1 Nous verrons plus loin que la même preuve est valable si
Ω = IR
3 .
Cette preuve simple fait appel à deux ingrédients : la sommabilité de la fonction solution qu’on considère et le fait qu’on a une condition au bord fixée.
Afin de préparer l’avenir où nous étudierons des cas plus délicats, nous allons
refaire la preuve de l’unicité, mais cette fois sous une forme passant par le
principe du maximum et qui pourra être étendue. Dans ce cas simple, la
réponse va venir d’une forme basique du principe du maximum, que nous
allons rappeler maintenant.
10.2.1 Le principe du maximum
Le principe du maximum pour les équations aux dérivées partielles elliptiques
(on définira ce qualificatif plus loin) est la généralisation dans IR
N , N > 1,
du résultat simplissime suivant : si une fonction réelle de la variable réelle est
nulle aux deux bornes d’un intervalle et convexe sur cet intervalle, alors elle
est négative sur tout cet intervalle. Le dessin générique est celui de la Figure
10.1
Ce qui va en dimension N > 1 jouer le rôle que joue la dérivée seconde en
dimension 1, c’est le Laplacien. Essentiellement, on va appliquer un argument
Fig. 10.1. Principe du maximum en dimension 1.