10.2 Le cas le plus simple sur un ouvert borné
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mais nous verrons à la Section 10.5 le noeud de cette preuve d’unicité dans
un cadre fonctionnel régulier. Cela nous amène d’ailleurs à la remarque suivante. Avant d’entamer l’étude de l’unicité de la solution des équations (10.2)
et (10.8), nous faisons en effet une remarque essentielle sur la régularité des
fonctions en jeu.
Nous avons posé ci-dessus les problèmes avec des noyaux ponctuels. Il s’avère
en fait que d’un point de vue mathématique, il est techniquement plus facile
de faire les preuves avec des noyaux un peu épaissis, où sens où la mesure
définissant le noyau (m dans les notations ci-dessus) est plus régulière qu’une
mesure, c’est une fonction L
1
loc ou même une fonction continue. Du point de
vue de la stratégie de preuve, ceci ne change rien. On fait appel aux mêmes
arguments, mais ceux-ci s’appuient sur des résultats moins pointus que dans
le cas ponctuel. Dans l’optique pédagogique que nous avons ici, il suffit donc
de considérer ces cas plus réguliers. Une seconde remarque dans cet esprit est
la suivante. Raisonnons par exemple sur l’équation (10.3) pour fixer les idées.
En fait, la régularité de m ne joue pas explicitement un rôle dans la preuve
de l’unicité, car on va comparer deux solutions de cette équation de sorte que
l’on va se ramener au cas d’un second membre nul dans (10.2) : la fonction
m aura disparu ! En fait, la régularité de m joue explicitement un rôle pour
l’existence d’au moins une solution (ce qui est tout le moins requis pour parler
d’unicité sans parler dans le vide !), et pour la régularité d’une telle solution. A
son tour, cette régularité joue un rôle pour l’unicité, permettant (quand c’est
possible !) de faire des arguments plus ou moins simples techniquement dans
la preuve d’unicité. Le lecteur cultivé sait sans doute que, dans beaucoup de
situations de l’analyse des équations aux dérivées partielles, plus une solution
est régulière plus elle est susceptible d’être unique, et plus il est facile de le
montrer.
Tout ceci deviendra clair dans les sections suivantes, mais que le lecteur retienne d’ores et déjà ceci : on se placera certes dans le cas de données très
régulières, et on va gérer certes des solutions très régulières, mais ce n’est
pas grave : nos arguments admettent des extensions dans des cas bien moins
réguliers. On se reportera notamment aux remarques dans le cours du texte
et à la Section 10.7 si on est curieux.
10.2 Le cas le plus simple sur un ouvert borné
Dans cette section, on considère une simplification du problème de type
Thomas-Fermi introduit ci-dessus : on va d’abord regarder la question de
l’unicité de la solution de l’équation (10.2) avec donnée au bord nulle sur un
ouvert borné. En effet, on veut comprendre ce qui se passerait si la frontière
à l’infini pour le problème (10.2) était ramenée à distance finie, dans la veine
de ce que nous avons fait au Chapitre 2. Plus précisément, nous regardons
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mais nous verrons à la Section 10.5 le noeud de cette preuve d’unicité dans
un cadre fonctionnel régulier. Cela nous amène d’ailleurs à la remarque suivante. Avant d’entamer l’étude de l’unicité de la solution des équations (10.2)
et (10.8), nous faisons en effet une remarque essentielle sur la régularité des
fonctions en jeu.
Nous avons posé ci-dessus les problèmes avec des noyaux ponctuels. Il s’avère
en fait que d’un point de vue mathématique, il est techniquement plus facile
de faire les preuves avec des noyaux un peu épaissis, où sens où la mesure
définissant le noyau (m dans les notations ci-dessus) est plus régulière qu’une
mesure, c’est une fonction L
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loc ou même une fonction continue. Du point de
vue de la stratégie de preuve, ceci ne change rien. On fait appel aux mêmes
arguments, mais ceux-ci s’appuient sur des résultats moins pointus que dans
le cas ponctuel. Dans l’optique pédagogique que nous avons ici, il suffit donc
de considérer ces cas plus réguliers. Une seconde remarque dans cet esprit est
la suivante. Raisonnons par exemple sur l’équation (10.3) pour fixer les idées.
En fait, la régularité de m ne joue pas explicitement un rôle dans la preuve
de l’unicité, car on va comparer deux solutions de cette équation de sorte que
l’on va se ramener au cas d’un second membre nul dans (10.2) : la fonction
m aura disparu ! En fait, la régularité de m joue explicitement un rôle pour
l’existence d’au moins une solution (ce qui est tout le moins requis pour parler
d’unicité sans parler dans le vide !), et pour la régularité d’une telle solution. A
son tour, cette régularité joue un rôle pour l’unicité, permettant (quand c’est
possible !) de faire des arguments plus ou moins simples techniquement dans
la preuve d’unicité. Le lecteur cultivé sait sans doute que, dans beaucoup de
situations de l’analyse des équations aux dérivées partielles, plus une solution
est régulière plus elle est susceptible d’être unique, et plus il est facile de le
montrer.
Tout ceci deviendra clair dans les sections suivantes, mais que le lecteur retienne d’ores et déjà ceci : on se placera certes dans le cas de données très
régulières, et on va gérer certes des solutions très régulières, mais ce n’est
pas grave : nos arguments admettent des extensions dans des cas bien moins
réguliers. On se reportera notamment aux remarques dans le cours du texte
et à la Section 10.7 si on est curieux.
10.2 Le cas le plus simple sur un ouvert borné
Dans cette section, on considère une simplification du problème de type
Thomas-Fermi introduit ci-dessus : on va d’abord regarder la question de
l’unicité de la solution de l’équation (10.2) avec donnée au bord nulle sur un
ouvert borné. En effet, on veut comprendre ce qui se passerait si la frontière
à l’infini pour le problème (10.2) était ramenée à distance finie, dans la veine
de ce que nous avons fait au Chapitre 2. Plus précisément, nous regardons