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10 Un cas périodique
vite à l’infini ce qui permet notamment de donner un sens au potentiel créé par
une infinité périodique de noyaux. Bien sûr, la simplification conduisant au
modèle (10.5) n’a pas grande valeur physique, mais on rappelle qu’on saurait
traiter (avec plus de difficultés) des modèles plus réalistes, et que notre but
ici est seulement de donner une idée des raisonnements mathématiques en jeu
en les faisant fonctionner sur un cas simple.
Plaçons les noyaux en des points d’un réseau périodique, et écrivons maintenant l’équation d’Euler-Lagrange qui serait associée à la fonctionnelle d’énergie (10.5) (écrite en u =
√
ρ comme d’habitude) sous contrainte de charge
fixée,
−∆u −
N
k=1
e
−|x−¯ x k |
|x − ¯
x k |
u +
5
3
u
7/3 + θu = 0.
(10.6)
Si on fait brutalement tendre N vers l’infini, on obtient une équation de la
forme
−∆u + V u + u
7/3 = 0,
(10.7)
où V est un potentiel périodique (formellement ici V (x) =
k∈Z Z 3
e
−|x−k|
|x − k|
plus
la limite du multiplicateur). La question de l’unicité de la solution de cette
équation sera l’objet de la section 10.4, afin de pouvoir conclure que la seule
solution positive (non triviale) de (10.7) est périodique, de même période que
le potentiel V .
Regardons enfin un dernier cas de figure. Nous avons jusqu’à maintenant
traité de l’unicité de la solution pour une équation scalaire. Dépassons ce
cadre en nous intéressant à l’unicité de la solution pour un système d’équations. L’exemple que nous allons regarder est comme les précédents issu de la
modélisation de la phase solide. On reprend le modèle de Thomas-Fermi-von
Weizsäcker, mais on ne pratique plus les simplifications consistant à remplacer
le potentiel d’interaction de Coulomb par le potentiel de Yukawa, et à négliger les interaction entre électrons. Pour simplifier malgré tout les choses, nous
allons admettre (on renvoie le lecteur impatient à la Section 10.7 où il trouvera les références à consulter pour en savoir plus) que les équations d’EulerLagrange que nous obtenons alors pour la structure périodique consistent en
le système d’équations aux dérivées partielles suivant
⎧
⎨
⎩
−∆u + u
7/3
− φu = 0,
u ≥ 0,
−∆φ = m − u
2 ,
(10.8)
où m est la densité périodique des noyaux, u désigne comme d’habitude la
racine carrée de la densité électronique et φ désigne le potentiel électrostatique
subi par les électrons (comme dans la relation (10.4)). Là encore, il s’agit de
prouver que la solution (u, φ) est périodique, de même période que la distribution de noyaux m. Nous ne ferons pas toute la preuve dans sa généralité,
10 Un cas périodique
vite à l’infini ce qui permet notamment de donner un sens au potentiel créé par
une infinité périodique de noyaux. Bien sûr, la simplification conduisant au
modèle (10.5) n’a pas grande valeur physique, mais on rappelle qu’on saurait
traiter (avec plus de difficultés) des modèles plus réalistes, et que notre but
ici est seulement de donner une idée des raisonnements mathématiques en jeu
en les faisant fonctionner sur un cas simple.
Plaçons les noyaux en des points d’un réseau périodique, et écrivons maintenant l’équation d’Euler-Lagrange qui serait associée à la fonctionnelle d’énergie (10.5) (écrite en u =
√
ρ comme d’habitude) sous contrainte de charge
fixée,
−∆u −
N
k=1
e
−|x−¯ x k |
|x − ¯
x k |
u +
5
3
u
7/3 + θu = 0.
(10.6)
Si on fait brutalement tendre N vers l’infini, on obtient une équation de la
forme
−∆u + V u + u
7/3 = 0,
(10.7)
où V est un potentiel périodique (formellement ici V (x) =
k∈Z Z 3
e
−|x−k|
|x − k|
plus
la limite du multiplicateur). La question de l’unicité de la solution de cette
équation sera l’objet de la section 10.4, afin de pouvoir conclure que la seule
solution positive (non triviale) de (10.7) est périodique, de même période que
le potentiel V .
Regardons enfin un dernier cas de figure. Nous avons jusqu’à maintenant
traité de l’unicité de la solution pour une équation scalaire. Dépassons ce
cadre en nous intéressant à l’unicité de la solution pour un système d’équations. L’exemple que nous allons regarder est comme les précédents issu de la
modélisation de la phase solide. On reprend le modèle de Thomas-Fermi-von
Weizsäcker, mais on ne pratique plus les simplifications consistant à remplacer
le potentiel d’interaction de Coulomb par le potentiel de Yukawa, et à négliger les interaction entre électrons. Pour simplifier malgré tout les choses, nous
allons admettre (on renvoie le lecteur impatient à la Section 10.7 où il trouvera les références à consulter pour en savoir plus) que les équations d’EulerLagrange que nous obtenons alors pour la structure périodique consistent en
le système d’équations aux dérivées partielles suivant
⎧
⎨
⎩
−∆u + u
7/3
− φu = 0,
u ≥ 0,
−∆φ = m − u
2 ,
(10.8)
où m est la densité périodique des noyaux, u désigne comme d’habitude la
racine carrée de la densité électronique et φ désigne le potentiel électrostatique
subi par les électrons (comme dans la relation (10.4)). Là encore, il s’agit de
prouver que la solution (u, φ) est périodique, de même période que la distribution de noyaux m. Nous ne ferons pas toute la preuve dans sa généralité,