10.1 Présentation des problèmes
263
Φ = (m N − ρ)
1
|x|
,
(10.3)
ce qui équivaut (à une constante multiplicative
1
4π
près, constante que l’on
omettra dans tout ce chapitre) à
−∆Φ = m N − ρ,
(10.4)
on voit que (10.2) et (10.4) entraînent
−∆Φ + Φ
3/2 = m N ,
ce qui donne (10.1) une fois qu’on a fait tendre N vers l’infini (la valeur absolue
dans (10.1) est là parce qu’on n’aura pas besoin dans la suite du raisonnement
de se restreindre à des fonctions Φ positives).
On fait alors la remarque suivante. Pour résoudre la question une solution de
(10.1) est-elle périodique si m l’est ?, il suffit de montrer que, à m donnée, la
solution de (10.1) est unique.
De là, en supposant m périodique, on obtiendra que si Φ(x) est solution et
m(x) = m(x + e) alors Φ(x + e) l’est aussi, et donc Φ(x + e) = Φ(x), d’où la
conclusion : Φ est périodique, de même période que m.
Stockons pour l’instant cette question de l’unicité de la solution de (10.1) qui
sera l’objet de la section 10.3 ci-dessous, et compliquons maintenant un peu
le problème en envisageant un autre modèle pour l’état des électrons.
Au lieu de considérer le modèle de Thomas-Fermi, nous allons regarder celui
de Thomas-Fermi-von Weizsäcker. Du point de vue qui nous intéresse ici de la
modélisation des solides, il s’agit d’une très bonne amélioration du modèle de
Thomas-Fermi, mais du point de vue mathématique, cela amène d’énormes
complications. Bien que traiter le cas du modèle de Thomas-Fermi-von Weizsäcker soit possible (voir les références dans la section 10.7), nous n’allons pas
le faire ici mais traiter plutôt une simplification de ce modèle consistant
– à remplacer le potentiel coulombien
1
|x|
d’attraction des noyaux par
un potentiel à courte portée, exponentiellement décroissant à longue
distance
e
−|x|
|x|
, dit potentiel de Yukawa,
– à négliger le terme d’interaction coulombienne entre les électrons.
Plus précisément, nous allons regarder le modèle de type Thomas-Fermi-von
Weizsäcker dont la fonctionnelle d’énergie s’écrirait dans le cas moléculaire
E(ρ) =
I R 3
|∇
√ ρ|
2
−
I R 3
N
k=1
e
−|x−¯ x k |
|x − ¯
x k |
ρ +
I R 3
ρ
5/3 .
(10.5)
On notera que le potentiel d’attraction des noyaux ressemble au potentiel
coulombien au voisinage des noyaux puisque
e
−|x|
|x|
∼
|x|−→0
1
|x|
, et s’écrase très
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Φ = (m N − ρ)
1
|x|
,
(10.3)
ce qui équivaut (à une constante multiplicative
1
4π
près, constante que l’on
omettra dans tout ce chapitre) à
−∆Φ = m N − ρ,
(10.4)
on voit que (10.2) et (10.4) entraînent
−∆Φ + Φ
3/2 = m N ,
ce qui donne (10.1) une fois qu’on a fait tendre N vers l’infini (la valeur absolue
dans (10.1) est là parce qu’on n’aura pas besoin dans la suite du raisonnement
de se restreindre à des fonctions Φ positives).
On fait alors la remarque suivante. Pour résoudre la question une solution de
(10.1) est-elle périodique si m l’est ?, il suffit de montrer que, à m donnée, la
solution de (10.1) est unique.
De là, en supposant m périodique, on obtiendra que si Φ(x) est solution et
m(x) = m(x + e) alors Φ(x + e) l’est aussi, et donc Φ(x + e) = Φ(x), d’où la
conclusion : Φ est périodique, de même période que m.
Stockons pour l’instant cette question de l’unicité de la solution de (10.1) qui
sera l’objet de la section 10.3 ci-dessous, et compliquons maintenant un peu
le problème en envisageant un autre modèle pour l’état des électrons.
Au lieu de considérer le modèle de Thomas-Fermi, nous allons regarder celui
de Thomas-Fermi-von Weizsäcker. Du point de vue qui nous intéresse ici de la
modélisation des solides, il s’agit d’une très bonne amélioration du modèle de
Thomas-Fermi, mais du point de vue mathématique, cela amène d’énormes
complications. Bien que traiter le cas du modèle de Thomas-Fermi-von Weizsäcker soit possible (voir les références dans la section 10.7), nous n’allons pas
le faire ici mais traiter plutôt une simplification de ce modèle consistant
– à remplacer le potentiel coulombien
1
|x|
d’attraction des noyaux par
un potentiel à courte portée, exponentiellement décroissant à longue
distance
e
−|x|
|x|
, dit potentiel de Yukawa,
– à négliger le terme d’interaction coulombienne entre les électrons.
Plus précisément, nous allons regarder le modèle de type Thomas-Fermi-von
Weizsäcker dont la fonctionnelle d’énergie s’écrirait dans le cas moléculaire
E(ρ) =
I R 3
|∇
√ ρ|
2
−
I R 3
N
k=1
e
−|x−¯ x k |
|x − ¯
x k |
ρ +
I R 3
ρ
5/3 .
(10.5)
On notera que le potentiel d’attraction des noyaux ressemble au potentiel
coulombien au voisinage des noyaux puisque
e
−|x|
|x|
∼
|x|−→0
1
|x|
, et s’écrase très