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10 Un cas périodique
10.1 Présentation des problèmes
La motivation physique des problèmes que nous allons regarder ici est la
modélisation des cristaux. Un cristal est un assemblage périodique de cellules
unité, chacune contenant un nombre donné de noyaux atomiques à des emplacements fixés (le lecteur se souvient peut-être des appellations particulières,
rencontrées au cours de ses études : réseau cubique centré, cubique faces centrées, ...). Dans un souci de simplicité, nous supposons que la cellule unité
est un cube et qu’on place un noyau atomique de charge unité au centre de
chaque cellule cubique. Si on donne à cette structure autant d’électrons que de
charges positives, et si on considère une infinité de cubes (ayant à l’esprit que
le nombre de cellules dans la réalité est typiquement de l’ordre de grandeur du
nombre d’Avogadro, ce qui à l’échelle d’une cellule donnée est une infinité),
on peut se poser la question suivante : la densité correspondant à cette infinité
d’électrons dans leur état fondamental présente-t-elle la même périodicité que
le réseau de noyaux ?
Une façon mathématique de formuler cette question (façon qui pourrait se
justifier rigoureusement, mais nous ne voulons pas aller trop loin dans cette
direction pour cet exposé simplifié) est de poser la question suivante : la
seule solution à l’équation d’Euler-Lagrange qui correspond au problème de
minimisation est-elle périodique ? Dans le cadre d’un modèle de Thomas-Fermi
pour l’ensemble du solide, l’équation à regarder est
−∆Φ + |Φ|
1/2 Φ = m,
(10.1)
où m est la densité périodique des noyaux. Sans rentrer trop dans le détail,
donnons une idée de la raison pour laquelle c’est cette équation (10.1) qui est
en jeu.
Pour une molécule de N noyaux dont la densité de noyaux est définie par la
mesure m N (par exemple, m N =
N
k=1
δ(· − ¯
x k ) si les noyaux sont ponctuels, de
charge unité, placés aux points ¯
x k ), l’équation d’Euler-Lagrange du modèle de
Thomas-Fermi pour la molécule (i.e. le système moléculaire neutre comportant
N électrons autour des N noyaux de charge unité) est
ρ
2/3 = (m N − ρ)
1
|x|
.
(10.2)
On pourra essayer de le montrer en exercice, en s’inspirant de la Section 3.6
du Chapitre 3, tout en prêtant attention au fait qu’il faut, pour obtenir (10.2),
montrer que le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte de charge
I R 3
ρ = N s’annule exactement dans cette situation de neutralité.
En introduisant ce qu’on appelle le potentiel effectif subi par les électrons,
c’est-à-dire la fonction
10 Un cas périodique
10.1 Présentation des problèmes
La motivation physique des problèmes que nous allons regarder ici est la
modélisation des cristaux. Un cristal est un assemblage périodique de cellules
unité, chacune contenant un nombre donné de noyaux atomiques à des emplacements fixés (le lecteur se souvient peut-être des appellations particulières,
rencontrées au cours de ses études : réseau cubique centré, cubique faces centrées, ...). Dans un souci de simplicité, nous supposons que la cellule unité
est un cube et qu’on place un noyau atomique de charge unité au centre de
chaque cellule cubique. Si on donne à cette structure autant d’électrons que de
charges positives, et si on considère une infinité de cubes (ayant à l’esprit que
le nombre de cellules dans la réalité est typiquement de l’ordre de grandeur du
nombre d’Avogadro, ce qui à l’échelle d’une cellule donnée est une infinité),
on peut se poser la question suivante : la densité correspondant à cette infinité
d’électrons dans leur état fondamental présente-t-elle la même périodicité que
le réseau de noyaux ?
Une façon mathématique de formuler cette question (façon qui pourrait se
justifier rigoureusement, mais nous ne voulons pas aller trop loin dans cette
direction pour cet exposé simplifié) est de poser la question suivante : la
seule solution à l’équation d’Euler-Lagrange qui correspond au problème de
minimisation est-elle périodique ? Dans le cadre d’un modèle de Thomas-Fermi
pour l’ensemble du solide, l’équation à regarder est
−∆Φ + |Φ|
1/2 Φ = m,
(10.1)
où m est la densité périodique des noyaux. Sans rentrer trop dans le détail,
donnons une idée de la raison pour laquelle c’est cette équation (10.1) qui est
en jeu.
Pour une molécule de N noyaux dont la densité de noyaux est définie par la
mesure m N (par exemple, m N =
N
k=1
δ(· − ¯
x k ) si les noyaux sont ponctuels, de
charge unité, placés aux points ¯
x k ), l’équation d’Euler-Lagrange du modèle de
Thomas-Fermi pour la molécule (i.e. le système moléculaire neutre comportant
N électrons autour des N noyaux de charge unité) est
ρ
2/3 = (m N − ρ)
1
|x|
.
(10.2)
On pourra essayer de le montrer en exercice, en s’inspirant de la Section 3.6
du Chapitre 3, tout en prêtant attention au fait qu’il faut, pour obtenir (10.2),
montrer que le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte de charge
I R 3
ρ = N s’annule exactement dans cette situation de neutralité.
En introduisant ce qu’on appelle le potentiel effectif subi par les électrons,
c’est-à-dire la fonction