10
Un cas périodique
Nous allons aborder dans ce chapitre un type de problème de nature différente
de ceux étudiés jusqu’à présent. Il s’agit encore de problèmes de minimisation,
mais cette fois on considère le cas où les fonctions sur lesquelles on minimise
une fonctionnelle d’énergie sont des fonctions périodiques, ayant comme cellule
de périodicité un domaine borné fixé de IR
3 . Comme le problème est encore
localement compact, on ne rencontre pas de difficulté particulière pour montrer l’existence, et la (stricte) convexité que l’on supposera sur la fonctionnelle
d’énergie permet de régler la question de l’unicité. Ce à quoi on va s’intéresser ici, c’est essentiellement la question suivante : une solution de l’équation
d’Euler-Lagrange du problème périodique est-elle nécessairement périodique,
et donc égale au minimum du problème de minimisation périodique ?
On peut comprendre intuitivement que ces problèmes périodiques sont à la
modélisation des cristaux périodiques ce que les problèmes posés sur IR
3 regardés jusqu’à maintenant sont à la modélisation des molécules isolées dans
l’espace. Plus précisément, ce type d’étude tire en fait sa motivation d’un
problème dit de limite thermodynamique pour les cristaux, et qui consiste à
établir (ou justifier) un modèle de la structure électronique d’un cristal à partir du modèle moléculaire correspondant (voir le Chapitre 11). La question
de savoir si une solution de l’équation d’Euler-Lagrange est nécessairement
périodique joue un rôle central dans une telle étude.
D’un point de vue strictement mathématique, cela va nous permettre de faire
fonctionner à de multiples reprises un outil essentiel de l’analyse des EDP
elliptiques, à savoir le principe du maximum. Les preuves d’unicité que nous
allons donner dans ce chapitre ont sur ce plan une vocation d’exemple générique. On pourra s’inspirer de la stratégie de preuve employée ici dans une
foule d’autres contextes où on cherche à montrer l’unicité de la solution d’une
EDP.
Un cas périodique
Nous allons aborder dans ce chapitre un type de problème de nature différente
de ceux étudiés jusqu’à présent. Il s’agit encore de problèmes de minimisation,
mais cette fois on considère le cas où les fonctions sur lesquelles on minimise
une fonctionnelle d’énergie sont des fonctions périodiques, ayant comme cellule
de périodicité un domaine borné fixé de IR
3 . Comme le problème est encore
localement compact, on ne rencontre pas de difficulté particulière pour montrer l’existence, et la (stricte) convexité que l’on supposera sur la fonctionnelle
d’énergie permet de régler la question de l’unicité. Ce à quoi on va s’intéresser ici, c’est essentiellement la question suivante : une solution de l’équation
d’Euler-Lagrange du problème périodique est-elle nécessairement périodique,
et donc égale au minimum du problème de minimisation périodique ?
On peut comprendre intuitivement que ces problèmes périodiques sont à la
modélisation des cristaux périodiques ce que les problèmes posés sur IR
3 regardés jusqu’à maintenant sont à la modélisation des molécules isolées dans
l’espace. Plus précisément, ce type d’étude tire en fait sa motivation d’un
problème dit de limite thermodynamique pour les cristaux, et qui consiste à
établir (ou justifier) un modèle de la structure électronique d’un cristal à partir du modèle moléculaire correspondant (voir le Chapitre 11). La question
de savoir si une solution de l’équation d’Euler-Lagrange est nécessairement
périodique joue un rôle central dans une telle étude.
D’un point de vue strictement mathématique, cela va nous permettre de faire
fonctionner à de multiples reprises un outil essentiel de l’analyse des EDP
elliptiques, à savoir le principe du maximum. Les preuves d’unicité que nous
allons donner dans ce chapitre ont sur ce plan une vocation d’exemple générique. On pourra s’inspirer de la stratégie de preuve employée ici dans une
foule d’autres contextes où on cherche à montrer l’unicité de la solution d’une
EDP.