9.2 Modélisation de la phase liquide
257
∂V
r
∂n
i
−
∂V
r
∂n
e
= 4πσ
1
2
∂V
r
∂n
i
+
∂V
r
∂n
e
= D
∗
· σ
et la condition de saut à l’interface
0 =
∂V
s
∂n
i
− s
∂V
s
∂n
e
=
∂V
r
∂n
i
−
∂V
r
∂n
e
+ (1 − )
∂φ
∂n
,
ce qui conduit immédiatement par simple manipulation algébrique à l’équation
intégrale
2π
s + 1
s − 1
− D
∗
· σ =
∂φ
∂n
.
(9.20)
L’existence et l’unicité de la solution σ de (9.20) dans H
−1/2 est assurée par
la propriété 3 énoncée à la section 9.2.6.
Cette technique de calcul du potentiel de réaction par méthode intégrale est
connue en chimie sous le nom de méthode ASC (apparent surface charge).
Pour calculer E
r (ρ, ρ
), il suffit maintenant de remarquer que
E
r (ρ, ρ
) =
I R 3
ρ
V
r
=
I R 3
ρ(x)
Γ
σ(y)
|x − y|
dy
dx
=
Γ
σ(y)
I R 3
ρ
(x)
|x − y|
dx
dy
=
Γ
σφ
avec φ
= ρ
1
|x| .
Sur un plan numérique, le calcul de E
r (ρ, ρ
) pour le modèle standard s’effectue selon les modalités décrites à la section précédente en cinq étapes :
1. maillage de Γ avec approximation polyédrique par des triangles (ou/et
des quadrilatères) ;
2. assemblage de la matrice
[A] ij =
2π
s + 1
s − 1
− D
∗
ij
= 2π
s + 1
s − 1
aire(T i )aire(T j ) −
Tj
Ti
∂
∂n x
1
|x − y|
dx
dy
par intégration analytique sur T i et intégration par points de Gauss sur
T j ;