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9 Modèles pour les phases condensées
surfaces sont formées de morceaux de sphères et de tores raccordés et on peut
envisager de mailler directement ces surfaces moléculaires dont on connaît des
expressions analytiques simples dans des cartes locales. On peut alors mener
à bien un calcul de collocation ou de Galerkin avec éléments finis surfaciques
directement sur la surface Γ [232].
Signalons pour finir que lorsque le maillage de la surface moléculaire comporte
beaucoup d’éléments (une dizaine de milliers ou davantage, pour les moyens
de calculs disponibles à l’heure actuelle), il convient d’utiliser une méthode
itérative (type gradient conjugué ou GMRes) pour résoudre le système linéaire
[A] · [σ] = [g]. Pour des très gros maillages (une centaine de milliers d’éléments
ou davantage), il est en outre nécessaire d’utiliser une méthode rapide du
type Fast Multipole (FMM) [97] pour effectuer les produits matrice-vecteur
intervenant dans la méthode itérative de résolution du système linéaire.
9.2.6.2 Application au modèle standard
Rappelons que dans le cas standard, le milieu extérieur est modélisé par un
diélectrique homogène et isotrope de constante diélectrique égale à la permittivité s du solvant. Soit ρ et ρ
de forme générique
M
k=1 q k δ ¯
x k − ρ D avec
¯
x k ∈ Ω et ρ D ∈ C
0,1 ( ¯
Ω). On utilisera par extension la notation
pour désigner le crochet de dualité qui donne un sens à l’intégrale.
On cherche à calculer l’énergie
E
r (ρ, ρ
) =
I R 3
ρ
V
r ,
le potentiel de réaction V
r engendré par ρ étant défini dans W
1 (IR
3 ) par
V
r := V
s
− φ, −div ((x)∇V
s (x)) = 4πρ(x), −∆φ = 4πρ,
avec (x) = 1 dans la cavité Ω et (x) = s dans le domaine extérieur IR
3
\ ¯
Ω.
On vérifie que V
r est de classe C
2 dans ¯
Ω et dans IR
3
\ Ω et satisfait
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
−∆V
r = 0
dans Ω
−∆V
r = 0
dans IR
3
\ ¯
Ω
[V
r ] = 0
sur Γ
V
r
→ 0
à l’infini.
Les formules de représentation (9.12)-(9.13) permettent donc d’écrire le potentiel de réaction V
r sous la forme d’un potentiel de simple couche
V
r (x) =
Γ
σ(y)
|x − y|
dy,
∀x ∈ IR
3 ,
avec σ =
1
4π
∂V
r
∂n
∈ H
−1/2 (Γ ). Pour obtenir σ, il suffit d’écrire les relations
9 Modèles pour les phases condensées
surfaces sont formées de morceaux de sphères et de tores raccordés et on peut
envisager de mailler directement ces surfaces moléculaires dont on connaît des
expressions analytiques simples dans des cartes locales. On peut alors mener
à bien un calcul de collocation ou de Galerkin avec éléments finis surfaciques
directement sur la surface Γ [232].
Signalons pour finir que lorsque le maillage de la surface moléculaire comporte
beaucoup d’éléments (une dizaine de milliers ou davantage, pour les moyens
de calculs disponibles à l’heure actuelle), il convient d’utiliser une méthode
itérative (type gradient conjugué ou GMRes) pour résoudre le système linéaire
[A] · [σ] = [g]. Pour des très gros maillages (une centaine de milliers d’éléments
ou davantage), il est en outre nécessaire d’utiliser une méthode rapide du
type Fast Multipole (FMM) [97] pour effectuer les produits matrice-vecteur
intervenant dans la méthode itérative de résolution du système linéaire.
9.2.6.2 Application au modèle standard
Rappelons que dans le cas standard, le milieu extérieur est modélisé par un
diélectrique homogène et isotrope de constante diélectrique égale à la permittivité s du solvant. Soit ρ et ρ
de forme générique
M
k=1 q k δ ¯
x k − ρ D avec
¯
x k ∈ Ω et ρ D ∈ C
0,1 ( ¯
Ω). On utilisera par extension la notation
pour désigner le crochet de dualité qui donne un sens à l’intégrale.
On cherche à calculer l’énergie
E
r (ρ, ρ
) =
I R 3
ρ
V
r ,
le potentiel de réaction V
r engendré par ρ étant défini dans W
1 (IR
3 ) par
V
r := V
s
− φ, −div ((x)∇V
s (x)) = 4πρ(x), −∆φ = 4πρ,
avec (x) = 1 dans la cavité Ω et (x) = s dans le domaine extérieur IR
3
\ ¯
Ω.
On vérifie que V
r est de classe C
2 dans ¯
Ω et dans IR
3
\ Ω et satisfait
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
−∆V
r = 0
dans Ω
−∆V
r = 0
dans IR
3
\ ¯
Ω
[V
r ] = 0
sur Γ
V
r
→ 0
à l’infini.
Les formules de représentation (9.12)-(9.13) permettent donc d’écrire le potentiel de réaction V
r sous la forme d’un potentiel de simple couche
V
r (x) =
Γ
σ(y)
|x − y|
dy,
∀x ∈ IR
3 ,
avec σ =
1
4π
∂V
r
∂n
∈ H
−1/2 (Γ ). Pour obtenir σ, il suffit d’écrire les relations