9.2 Modélisation de la phase liquide
255
Points de la surface
moléculaire
Points de Gauss sur T
Surface moléculaire
Triangle plan T
Triangle courbe
i
i
Fig. 9.7. Approximation polyédrique d’une surface moléculaire.
pour x ∈ IR
3 possède une expression analytique lorsque T est un élément plan,
ce qui permet d’effectuer à peu de frais l’intégrale intérieure
Tj
. De même, la
fonction
f D (x) =
T
∂
∂n y
1
|x − y|
dy,
qui correspond à l’angle solide sous lequel l’élément T est vu depuis le point
x admet également une expression analytique simple pour x ∈ IR
3 lorsque T
est plan. Remarquons que dans ce cas la fonction f D est nulle si x ∈ T . On a
donc alors pour tout 1 ≤ i ≤ n, [D] ii = 0. Dans le cadre Galerkin, il faut en
outre effectuer l’intégration sur T i et on utilise pour cela une intégration par
points de Gauss en prenant d’autant plus de points de Gauss sur l’élément T i
que la distance entre T i et T j est faible.
L’approximation de la surface Γ introduit une erreur contrôlée par exemple
pour la méthode de Galerkin avec élément finis P 0 par les majorations suivantes :
– pour la résolution de S · σ = g,
− ˜
σ ◦ P
−1
H −1/2 (Γ ) ≤ C h
3/2
σ H 2 (Γ ) ,
– et pour la résolution de (λ + D
∗ )σ = g, 2π < λ < +∞,
− ˜
σ ◦ P
−1
L 2 (Γ ) ≤ C h σ H 1 (Γ ) ,
σ désignant la solution exacte de l’équation intégrale sur Γ , ˜
σ la solution
exacte de l’équation intégrale sur ˜
Γ , h = max diam(T i ) la taille caractéristique
des faces du polyèdre ˜
Γ , P la projection orthogonale sur Γ (qui définit de
manière unique une bijection de ˜
Γ sur Γ lorsque h est assez petit) et C une
constante.
Remarquons cependant que pour les surfaces moléculaires usuelles Γ
V dW
et Γ
se utilisées en pratique en simulation moléculaire (cf. section 9.2.4), le
recours à une approximation polyédrique n’est pas indispensable. En effet, ces
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Points de la surface
moléculaire
Points de Gauss sur T
Surface moléculaire
Triangle plan T
Triangle courbe
i
i
Fig. 9.7. Approximation polyédrique d’une surface moléculaire.
pour x ∈ IR
3 possède une expression analytique lorsque T est un élément plan,
ce qui permet d’effectuer à peu de frais l’intégrale intérieure
Tj
. De même, la
fonction
f D (x) =
T
∂
∂n y
1
|x − y|
dy,
qui correspond à l’angle solide sous lequel l’élément T est vu depuis le point
x admet également une expression analytique simple pour x ∈ IR
3 lorsque T
est plan. Remarquons que dans ce cas la fonction f D est nulle si x ∈ T . On a
donc alors pour tout 1 ≤ i ≤ n, [D] ii = 0. Dans le cadre Galerkin, il faut en
outre effectuer l’intégration sur T i et on utilise pour cela une intégration par
points de Gauss en prenant d’autant plus de points de Gauss sur l’élément T i
que la distance entre T i et T j est faible.
L’approximation de la surface Γ introduit une erreur contrôlée par exemple
pour la méthode de Galerkin avec élément finis P 0 par les majorations suivantes :
– pour la résolution de S · σ = g,
− ˜
σ ◦ P
−1
H −1/2 (Γ ) ≤ C h
3/2
σ H 2 (Γ ) ,
– et pour la résolution de (λ + D
∗ )σ = g, 2π < λ < +∞,
− ˜
σ ◦ P
−1
L 2 (Γ ) ≤ C h σ H 1 (Γ ) ,
σ désignant la solution exacte de l’équation intégrale sur Γ , ˜
σ la solution
exacte de l’équation intégrale sur ˜
Γ , h = max diam(T i ) la taille caractéristique
des faces du polyèdre ˜
Γ , P la projection orthogonale sur Γ (qui définit de
manière unique une bijection de ˜
Γ sur Γ lorsque h est assez petit) et C une
constante.
Remarquons cependant que pour les surfaces moléculaires usuelles Γ
V dW
et Γ
se utilisées en pratique en simulation moléculaire (cf. section 9.2.4), le
recours à une approximation polyédrique n’est pas indispensable. En effet, ces