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9 Modèles pour les phases condensées
Ces deux méthodes conduisent respectivement aux équations matricielles,
[A]
c
· [σ]
c = [g]
c
et
[A]
g
· [σ]
g = [g]
g
avec
[A]
c
ij =
Tj
a(x i , y) dy,
[g]
c
i = g(x i ),
[A]
g
ij =
Tj
Tj
a(x, y) dx dy,
[g]
g
i =
Ti
g,
[σ]
c
i et [σ]
g
i désignant respectivement les valeurs de σ sur T i sous les approximations de collocation et de Galerkin. La méthode de collocation est la plus
naturelle et la plus simple à implémenter, et est de ce fait la plus utilisée dans
la communauté des chimistes. Les numériciens préfèrent souvent la méthode
de Galerkin dont l’analyse mathématique est plus aisée (existence et unicité
de la solution du système matriciel, estimation a priori de l’erreur, ...) ;
en outre, la méthode de Galerkin conduit à un problème matriciel symétrique
dès que l’opérateur A est symétrique, ce qui simplifie notablement la résolution numérique (quand les systèmes sont de grande dimension) [188].
La méthode BEM (boundary element method) des éléments finis surfaciques
procède du même esprit que la méthode FEM (finite element method) des
éléments finis classiques. La seule différence vient du fait que dans les applications standards de la méthode FEM, l’opérateur est local (typiquement un
laplacien) alors que dans la méthode BEM, l’opérateur est non local. En conséquence, la matrice de rigidité [A] est en général pleine pour une méthode BEM
et creuse pour une méthode FEM. Les techniques optimales de stockage de
[A] et de résolution du système linéaire [A] · [σ] = [g] ne sont donc pas les
mêmes dans les deux cas [96].
On utilise souvent dans les calculs l’approximation polyédrique ˜
Γ de l’interface
Γ obtenue en considérant comme plans les éléments T i constituant le maillage
(Fig. 9.7).
Cela facilite grandement le calcul des coefficients des matrices de rigidité
[S] ij =
Ti
Tj
1
|x − y|
dx dy
et
[D] ij =
Ti
Tj
∂
∂n y
1
|x − y|
dy
dx.
Il se trouve en effet que la fonction
f S (x) =
T
1
|x − y|
dy
9 Modèles pour les phases condensées
Ces deux méthodes conduisent respectivement aux équations matricielles,
[A]
c
· [σ]
c = [g]
c
et
[A]
g
· [σ]
g = [g]
g
avec
[A]
c
ij =
Tj
a(x i , y) dy,
[g]
c
i = g(x i ),
[A]
g
ij =
Tj
Tj
a(x, y) dx dy,
[g]
g
i =
Ti
g,
[σ]
c
i et [σ]
g
i désignant respectivement les valeurs de σ sur T i sous les approximations de collocation et de Galerkin. La méthode de collocation est la plus
naturelle et la plus simple à implémenter, et est de ce fait la plus utilisée dans
la communauté des chimistes. Les numériciens préfèrent souvent la méthode
de Galerkin dont l’analyse mathématique est plus aisée (existence et unicité
de la solution du système matriciel, estimation a priori de l’erreur, ...) ;
en outre, la méthode de Galerkin conduit à un problème matriciel symétrique
dès que l’opérateur A est symétrique, ce qui simplifie notablement la résolution numérique (quand les systèmes sont de grande dimension) [188].
La méthode BEM (boundary element method) des éléments finis surfaciques
procède du même esprit que la méthode FEM (finite element method) des
éléments finis classiques. La seule différence vient du fait que dans les applications standards de la méthode FEM, l’opérateur est local (typiquement un
laplacien) alors que dans la méthode BEM, l’opérateur est non local. En conséquence, la matrice de rigidité [A] est en général pleine pour une méthode BEM
et creuse pour une méthode FEM. Les techniques optimales de stockage de
[A] et de résolution du système linéaire [A] · [σ] = [g] ne sont donc pas les
mêmes dans les deux cas [96].
On utilise souvent dans les calculs l’approximation polyédrique ˜
Γ de l’interface
Γ obtenue en considérant comme plans les éléments T i constituant le maillage
(Fig. 9.7).
Cela facilite grandement le calcul des coefficients des matrices de rigidité
[S] ij =
Ti
Tj
1
|x − y|
dx dy
et
[D] ij =
Ti
Tj
∂
∂n y
1
|x − y|
dy
dx.
Il se trouve en effet que la fonction
f S (x) =
T
1
|x − y|
dy