9.2 Modélisation de la phase liquide
253
S · σ = V.
On appelle potentiel de double couche un potentiel de la forme
V (x) =
Γ
∂
∂n y
1
|x − y|
σ(y) dy,
∀x ∈ IR
3 ,
avec σ ∈ H
−1/2 (IR
3 ). Un potentiel de double couche est continu dans IR
3
\ Γ
mais présente une discontinuité à la traversée de Γ donnée par
[V ] = V | i − V | e = 4πσ.
En revanche la dérivée normale de V est continue à la traversée de Γ . La
densité σ est solution de l’équation intégrale sur Γ
N · σ =
∂V
∂n
.
Aspects numériques
Pour résoudre numériquement une équation intégrale, on utilise en général ou
bien une méthode de collocation, ou bien une méthode de Galerkin, sur une
base d’éléments finis surfaciques.
On raisonne ici sur une équation intégrale linéaire qui s’écrit formellement
A · σ = g,
(9.19)
où l’inconnue σ est dans H
s (Γ ) et le second membre g dans H
s
(Γ ), et
où l’opérateur intégral A ∈ L(H
s (Γ ), H
s
(Γ )) est caractérisé par le noyau
a(x, y) :
(A · σ)(x) =
Γ
a(x, y) σ(y) dy,
∀x ∈ Γ.
Considérons un maillage (T i ) 1≤i≤n de Γ que nous supposons dans un premier
temps effectivement tracé sur la surface courbe Γ (on n’utilise pas d’approximation, par exemple polyédrique, de la surface Γ ) et désignons par x i un
point représentatif de l’élément T i (typiquement son “centre”). Les résolutions
de (9.19) par méthode de collocation et de Galerkin avec élément fini P 0 fournissent deux approximations de σ dans l’espace V des fonctions constantes
sur chaque élément T i du maillage :
– dans la méthode de collocation, on cherche σ
c
∈ V vérifiant
Γ
a(x i , y) σ
c (y) dy = g(x i ),
∀1 ≤ i ≤ n ;
– dans la méthode Galerkin, on cherche σ
g
∈ V vérifiant
∀τ ∈ V,
A · σ
g , τ Γ = g, τ Γ .