252
9 Modèles pour les phases condensées
(D
∗
· σ)(x) =
Γ
∂
∂n x
1
|x − y|
σ(y) dy,
(9.17)
(N · σ)(x) =
Γ
∂
2
∂n x ∂n y
1
|x − y|
σ(y) dy.
(9.18)
Lorsque la surface Γ est régulière (de classe C
1 au moins), les noyaux de Green
définissant les opérateurs S, D et D
∗ présentent des singularités intégrables
sur la surface Γ : il est facile de vérifier qu’ils se comportent en
1
|x−y| lorsque
y tend vers x (car on a |(x − y) · n x | ∼ |(x − y) · n y | ∼ |x − y|
2 lorsque
y est voisin de x). En revanche, le noyau de Green définissant l’opérateur
N est hypersingulier (il se comporte en
1
|x−y| 3 lorsque y tend vers x) et les
notations (9.14) et (9.18) sont donc formelles : il faut donner à l’intégrale
Γ
∂
2
∂nx∂ny
1
|x−y|
un sens de valeur principale.
Les opérateurs S, D, D
∗ et N possèdent les propriétés suivantes
5
1. les opérateurs S et N sont auto-adjoints sur L
2 (Γ ) et D
∗ est l’adjoint de
D ;
2. on les relations
DS = SD
∗ ,
DN = ND
∗ ,
D
2
−SN = 4π
2 ,
D
∗2
−NS = 4π
2 ;
3. les applications
S : H
s (Γ ) → H
s+1 (Γ )
λ + D
∗ : H
s (Γ ) → H
s (Γ )
pour 2π < λ < +∞,
N : H
s (Γ )/IR →
u ∈ H
s−1 (Γ ), u, 1 Γ = 0
.
sont des isomorphismes bicontinus pour tout s ∈ IR.
Définissons pour finir les potentiels dits de simple couche et de double couche.
On appelle potentiel de simple couche un potentiel de la forme
V (x) =
Γ
σ(y)
|x − y|
dy,
∀x ∈ IR
3 ,
avec σ ∈ H
−1/2 (IR
3 ). Un potentiel de simple couche est défini et continu dans
IR
3 (en particulier [V ] = 0). Sa dérivée normale présente un saut à la traversée
de l’interface Γ donné par la formule
∂V
∂n
=
∂V
∂n
i
−
∂V
∂n
e
= 4πσ.
La densité σ est solution de l’équation intégrale sur Γ
5 Les objets qui éclairent le sens et les propriétés de ces opérateurs sont les projecteurs de Calderon [74, 98].