9.2 Modélisation de la phase liquide
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9.2.6.1 Notions sur les méthodes intégrales
Nous énonçons sans démonstration quelques résultats de base sur les équations
intégrales dont nous nous servons par la suite. Pour plus de détails, le lecteur
pourra consulter les références [74, 98, 159, 169, 170, 171].
Aspects théoriques
Considérons une fonction V vérifiant
⎧
⎨
⎩
−∆V = 0
dans Ω
−∆V = 0
dans IR
3
\ ¯
Ω,
V −→ 0
à l’infini,
et dont les traces intérieures V i ,
∂V
∂n
i
et extérieures V e ,
∂V
∂n
e
sur Γ = ∂Ω
sont définies et continues. En notant
[V ] := V i − V e
et
∂V
∂n
:=
∂V
∂n
i
−
∂V
∂n
e
,
on peut écrire les formules de représentation suivantes : la fonction V vérifie
pour tout x /
∈ Γ ,
V (x) =
Γ
1
4π|x − y|
∂V
∂n
(y) dy −
Γ
∂
∂n y
1
4π|x − y|
[V ](y) dy (9.12)
et pour tout x ∈ Γ ,
V i (x) + V e (x)
2
=
Γ
1
4π|x − y|
∂V
∂n
(y) dy −
Γ
∂
∂n y
1
4π|x − y|
[V ](y) dy.
(9.13)
Pour x ∈ Γ , on a en outre formellement
1
2
∂V
∂n
i
+
∂V
∂n
e
(x) =
Γ
∂
∂n x
1
4π|x − y|
∂V
∂n
(y) dy
(9.14)
−
Γ
∂
2
∂n x ∂n y
1
4π|x − y|
[V ](y) dy.
Ces deux dernières relations incitent à introduire les opérateurs S, D, D
∗ et
N définis pour σ : Γ → IR et x ∈ Γ par les relations
(S · σ)(x) =
Γ
1
|x − y|
σ(y) dy,
(9.15)
(D · σ)(x) =
Γ
∂
∂n y
1
|x − y|
σ(y) dy,
(9.16)