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9 Modèles pour les phases condensées
particulier un sens dans D
(IR
3 ) dès que ρ est à support compact ou dans
L
1 (IR
3 ), ce qui couvre tous les cas intervenant en simulation moléculaire.
Considérons maintenant l’équation (9.2) définissant le potentiel V
s . Lorsque
ρ est de type (b), on a en particulier
3 ρ ∈ W
−1 (IR
3 ) ; le potentiel V
s est alors
défini de manière unique par l’équation (9.2) dans W
1 (IR
3 ). Pour ρ de type (a),
l’équation (9.2) n’a pas de solution dans W
1 (IR
3 ), le champ électrique n’étant
pas de carré sommable au voisinage d’une charge ponctuelle. En revanche,
il est facile de s’assurer en mettant en oeuvre les méthodes intégrales de la
section 9.2.6 que le potentiel de réaction V
r est défini de manière unique dans
W
1 (IR
3 ) par le système (9.2)-(9.3).
En notant G(x, y) =
1
|x−y| le noyau de Green de l’opérateur −
1
4π ∆, G
s (x, y) le
noyau de Green de l’opérateur −
1
4π div (∇·) avec (x) = 1 ou (x) = s selon
que x est intérieur ou non à la cavité Ω, et G
r (x, y) := G
s (x, y) − G(x, y), on
a formellement les relations
V
s (x) =
I R 3
G
s (x, y) ρ(y) dy,
φ(x) =
I R 3
G(x, y) ρ(y) dy,
V
r (x) =
I R 3
G
r (x, y) ρ(y) dy.
En réalité, les noyaux de Green G
s et G
r dépendent des positions {¯ x k } 1≤k≤M
des noyaux via la géométrie de la cavité (cf. section 9.2.4). Cependant, nous
ne mentionnons pas explicitement cette dépendance dans ce qui suit afin de
ne pas alourdir les notations.
On peut décomposer l’énergie E
s (ρ 1 , ρ 2 ) d’interaction entre les charges ρ 1 et
ρ 2 en présence de solvant en la somme
E
s (ρ 1 , ρ 2 ) = D(ρ 1 , ρ 2 ) + E
r (ρ 1 , ρ 2 )
où
D(ρ 1 , ρ 2 ) :=
I R 3
I R 3
ρ 1 (x)ρ 2 (y)
|x − y|
dx dy
désigne l’énergie d’interaction dans le vide et où
3 On rappelle que W
−1 (IR
3 ) est le dual de l’espace de Hilbert à poids
W
1
IR
3
=
u ∈ H
1
loc
IR
3
/
u
1 + |x| 2
∈ L
2
IR
3
, ∇u ∈ L
2
IR
3
qui est l’espace naturel pour l’étude des potentiels coulombiens : la fonctionnelle
d’énergie
I R 3 |∇V |
2 ou plus généralement
I R 3 |∇V |
2 est coercive sur W
1 (IR
3 )
en vertu de l’inégalité de Hardy.
9 Modèles pour les phases condensées
particulier un sens dans D
(IR
3 ) dès que ρ est à support compact ou dans
L
1 (IR
3 ), ce qui couvre tous les cas intervenant en simulation moléculaire.
Considérons maintenant l’équation (9.2) définissant le potentiel V
s . Lorsque
ρ est de type (b), on a en particulier
3 ρ ∈ W
−1 (IR
3 ) ; le potentiel V
s est alors
défini de manière unique par l’équation (9.2) dans W
1 (IR
3 ). Pour ρ de type (a),
l’équation (9.2) n’a pas de solution dans W
1 (IR
3 ), le champ électrique n’étant
pas de carré sommable au voisinage d’une charge ponctuelle. En revanche,
il est facile de s’assurer en mettant en oeuvre les méthodes intégrales de la
section 9.2.6 que le potentiel de réaction V
r est défini de manière unique dans
W
1 (IR
3 ) par le système (9.2)-(9.3).
En notant G(x, y) =
1
|x−y| le noyau de Green de l’opérateur −
1
4π ∆, G
s (x, y) le
noyau de Green de l’opérateur −
1
4π div (∇·) avec (x) = 1 ou (x) = s selon
que x est intérieur ou non à la cavité Ω, et G
r (x, y) := G
s (x, y) − G(x, y), on
a formellement les relations
V
s (x) =
I R 3
G
s (x, y) ρ(y) dy,
φ(x) =
I R 3
G(x, y) ρ(y) dy,
V
r (x) =
I R 3
G
r (x, y) ρ(y) dy.
En réalité, les noyaux de Green G
s et G
r dépendent des positions {¯ x k } 1≤k≤M
des noyaux via la géométrie de la cavité (cf. section 9.2.4). Cependant, nous
ne mentionnons pas explicitement cette dépendance dans ce qui suit afin de
ne pas alourdir les notations.
On peut décomposer l’énergie E
s (ρ 1 , ρ 2 ) d’interaction entre les charges ρ 1 et
ρ 2 en présence de solvant en la somme
E
s (ρ 1 , ρ 2 ) = D(ρ 1 , ρ 2 ) + E
r (ρ 1 , ρ 2 )
où
D(ρ 1 , ρ 2 ) :=
I R 3
I R 3
ρ 1 (x)ρ 2 (y)
|x − y|
dx dy
désigne l’énergie d’interaction dans le vide et où
3 On rappelle que W
−1 (IR
3 ) est le dual de l’espace de Hilbert à poids
W
1
IR
3
=
u ∈ H
1
loc
IR
3
/
u
1 + |x| 2
∈ L
2
IR
3
, ∇u ∈ L
2
IR
3
qui est l’espace naturel pour l’étude des potentiels coulombiens : la fonctionnelle
d’énergie
I R 3 |∇V |
2 ou plus généralement
I R 3 |∇V |
2 est coercive sur W
1 (IR
3 )
en vertu de l’inégalité de Hardy.