234
9 Modèles pour les phases condensées
τ (x, x
) =
Q
n=1
1
|BZ h |
k∈BZ h
φ
k
n (x)φ
k
n (x
)
∗
H( F −
k
n ),
qui s’interprète comme une discrétisation de la formule (9.1). Un calcul élémentaire montre qu’on peut récrire la matrice densité sous la forme
τ (x, x
) =
Q
µ,ν=1
K∈(aZ Z 3 ) 3
D
K
µν χ µ (x) χ ν (x
− K)
∗
avec
D
K
µν =
Q
n=1
1
|BZ h |
k∈BZ h
e
ik·K C
k
µn C
k∗
νn H( F − E
k
n )
Il reste enfin à dire un mot sur la construction de l’hamiltonien de champ
moyen lorsque H est l’opérateur de Fock ou de Kohn-Sham associé à la matrice
densité τ , autrement dit sur l’assemblage des matrices H
K
µν : en choisissant
comme pour le cas moléculaire des orbitales atomiques χ µ réelles, on obtient
H
K
µν =
I R 3
∇χ µ (x) · ∇χ ν (x − K) dx
+
⎛
⎝ −
K ∈(aZ Z) 3
M
l=1
I R 3
z k
|x − (¯ x l + K )|
χ µ (x)χ ν (x − K) dx
+
K ∈(aZ Z) 3
Q
κ,λ=1
K ∈(aZ Z) 3
D
K
κλ
χ
K
κ χ
K
+K
λ
|χ
0
µ χ
K
ν
⎞
⎠
−
K ∈(aZ Z) 3
Q
κ,λ=1
K ∈(aZ Z) 3
D
K
κλ
χ
K
κ χ
0
µ |χ
K
+K
λ
χ
K
ν
pour le modèle de Hartree-Fock et
H
K
µν =
I R 3
∇χ µ (x) · ∇χ ν (x − K) dx
+
⎛
⎝ −
K ∈(aZ Z) 3
M
l=1
I R 3
z k
|x − (¯ x l + K )|
χ µ (x)χ ν (x − K) dx
+
K ∈(aZ Z) 3
Q
κ,λ=1
K ∈(aZ Z) 3
D
K
κλ
χ
K
κ χ
K
+K
λ
|χ
0
µ χ
K
ν
⎞
⎠
+
I R 3
V xc
⎛
⎝
Q
κλ=1
K ∈(aZ Z) 3
D
K
κ,λ χ κ (x)χ λ (x − K
)
⎞
⎠ χ µ (x)χ ν (x − K) dx