9.1 Cristaux parfaits
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9.1.2 Résolution numérique
En vue de la simulation numérique, il faut approcher ce modèle par un problème de dimension finie. La solution communément retenue consiste en une
double approximation :
1. on effectue une discrétisation de la zone de Brillouin en sélectionnant un
ensemble fini BZ
h de points de BZ. En pratique très peu de points k (i.e.
de points de BZ) suffisent pour représenter correctement la configuration électronique d’un isolant ; beaucoup de calculs sont en fait effectués
avec un seul point k, le point noté Γ de coordonnées (0, 0, 0). Pour un
conducteur, c’est une autre affaire : plusieurs centaines de points k sont
généralement nécessaires pour obtenir une discrétisation correcte ;
2. on recherche une approximation variationnelle des φ
k
n pour k ∈ BZ
h sur
une base finie
φ
k
n (x) =
Q
µ=1
C
k
µn ξ
k
µ (x)
les ξ
k
µ (x) pouvant être
– des orbitales atomiques
ξ
k
µ (x) = e
ik·x u
k
µ (x)
avec u
k
µ (x) =
K∈(aZ Z) 3
e
−ik·(x−K) χ µ (x − K)
où les χ µ sont des OA relatives aux M atomes de la maille élémentaire
[0, a[
3 ,
– ou des ondes planes
ξ
k
µ (x) = e
ik·x u
k
µ (x)
avec u
k
µ (x) = e
iKµ·x , K µ ∈ (aZ Z)
3 .
La résolution du problème (I) se réduit alors à la résolution de P problèmes
de type Hartree-Fock ou Kohn-Sham
H
k C
k = S
k C
k E
k ,
k∈ BZ
h
avec H
k
µν = ξ
k
µ , ·ξ
k
ν S
k
µν = ξ
k
µ , ξ
k
ν Pour calculer H
k
µν et S
k
µν , on se sert des
relations
H
k
µν =
K∈(aZ Z) 3
H
K
µν e
ik·K ,
S
k
µν =
K∈(aZ Z) 3
S
K
µν e
ik·K ,
avec
H
K
µν = χ µ , H · χ ν (· − K),
S
K
µν = χ µ , χ ν (· − K)
Pour construire la matrice densité on applique le principe Aufbau consistant à
peupler les N × P orbitales cristallines b-périodiques de plus basses énergies :
en désignant par F l’énergie de Fermi définie ici comme la demi-somme des
(N × P )
e et (N × P + 1)
e valeurs des E
k
n , 1 ≤ n ≤ Q, k ∈ BZ
h , on obtient