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9 Modèles pour les phases condensées
où W est un opérateur m-périodique (non nécessairement local) représentant
les interactions noyaux - électrons et électrons - électrons. Un tel opérateur
n’a pas de valeurs propres, et ses fonctions propres généralisées sont des ondes
de Bloch appelées orbitales cristallines [121, 181]. Ce sont plus précisément
des fonctions de la forme
φ(x) = e
ik·x u(x),
où u désigne une fonction m-périodique et k un vecteur quelconque de la
première zone de Brillouin BZ [121] (pour un cristal cubique de paramètre
de maille a, on prend BZ = [−π/a, π/a[
3 ). Pour k ∈ BZ fixé, H admet une
infinité dénombrable de fonctions propres généralisées (φ
k
i ) i∈I N ∗ ,
(I)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
H φ
k
n = E
k
n φ
k
n ,
φ
k
n = e
ik·x u
k
n (x),
[0,a] 3 |φ
k
n |
2 = 1,
qu’on ordonne selon les E
k
n croissants (E
k
1 ≤ E
k
2 ≤ · · ·). La dépendance de
E
k
n par rapport à k est continue et
E
k
n
k∈BZ
est donc un intervalle de IR :
c’est par définition la n-ième bande du spectre de h qu’on note ici b n . La
théorie des bandes dont nous venons de donner le principe constitutif est un
outil extrêmement fécond en physique du solide. Elle fournit notamment une
explication au phénomène de la conduction électrique [121].
Pour fermer le modèle de champ moyen, il faut expliquer
1. comment définir une matrice densité électronique à partir d’une famille
d’orbitales cristallines ;
2. comment construire l’hamiltonien de champ moyen à partir d’une matrice
densité.
Comme le cristal est infini, il comporte une infinité dénombrable d’électrons
(moralement N × Card(Z Z
3 )) et on dispose d’une infinité d’orbitales cristallines qui a la puissance du continu (moralement Card(IN
∗
× [−π/a, π/a[)). On
peut montrer que chaque bande b n du spectre comprend une densité d’états
pouvant recevoir un électron par maille élémentaire (deux électrons par maille
élémentaire dans les modèles à couches fermées avec spin de type RHF).
Si donc il existe un gap entre les bandes (b n ) 1≤n≤N et les bandes (b n ) n≥N +1 ,
on peuple selon le principe Aufbau les N bandes de plus basse énergie et on
obtient
τ (x, x
) =
N
n=1
1
|BZ|
BZ
φ
k
n (x)φ
k
n (x
)
∗ dk.
(9.1)
Si le gap est assez petit pour permettre à des électrons des bandes occupées
(b n ) 1≤n≤N dites bandes de valence de migrer par excitation thermique vers
les bandes virtuelles (b n ) n≥N +1 dites bandes de conduction, le cristal est un
semi-conducteur. Dans le cas contraire c’est un isolant.
9 Modèles pour les phases condensées
où W est un opérateur m-périodique (non nécessairement local) représentant
les interactions noyaux - électrons et électrons - électrons. Un tel opérateur
n’a pas de valeurs propres, et ses fonctions propres généralisées sont des ondes
de Bloch appelées orbitales cristallines [121, 181]. Ce sont plus précisément
des fonctions de la forme
φ(x) = e
ik·x u(x),
où u désigne une fonction m-périodique et k un vecteur quelconque de la
première zone de Brillouin BZ [121] (pour un cristal cubique de paramètre
de maille a, on prend BZ = [−π/a, π/a[
3 ). Pour k ∈ BZ fixé, H admet une
infinité dénombrable de fonctions propres généralisées (φ
k
i ) i∈I N ∗ ,
(I)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
H φ
k
n = E
k
n φ
k
n ,
φ
k
n = e
ik·x u
k
n (x),
[0,a] 3 |φ
k
n |
2 = 1,
qu’on ordonne selon les E
k
n croissants (E
k
1 ≤ E
k
2 ≤ · · ·). La dépendance de
E
k
n par rapport à k est continue et
E
k
n
k∈BZ
est donc un intervalle de IR :
c’est par définition la n-ième bande du spectre de h qu’on note ici b n . La
théorie des bandes dont nous venons de donner le principe constitutif est un
outil extrêmement fécond en physique du solide. Elle fournit notamment une
explication au phénomène de la conduction électrique [121].
Pour fermer le modèle de champ moyen, il faut expliquer
1. comment définir une matrice densité électronique à partir d’une famille
d’orbitales cristallines ;
2. comment construire l’hamiltonien de champ moyen à partir d’une matrice
densité.
Comme le cristal est infini, il comporte une infinité dénombrable d’électrons
(moralement N × Card(Z Z
3 )) et on dispose d’une infinité d’orbitales cristallines qui a la puissance du continu (moralement Card(IN
∗
× [−π/a, π/a[)). On
peut montrer que chaque bande b n du spectre comprend une densité d’états
pouvant recevoir un électron par maille élémentaire (deux électrons par maille
élémentaire dans les modèles à couches fermées avec spin de type RHF).
Si donc il existe un gap entre les bandes (b n ) 1≤n≤N et les bandes (b n ) n≥N +1 ,
on peuple selon le principe Aufbau les N bandes de plus basse énergie et on
obtient
τ (x, x
) =
N
n=1
1
|BZ|
BZ
φ
k
n (x)φ
k
n (x
)
∗ dk.
(9.1)
Si le gap est assez petit pour permettre à des électrons des bandes occupées
(b n ) 1≤n≤N dites bandes de valence de migrer par excitation thermique vers
les bandes virtuelles (b n ) n≥N +1 dites bandes de conduction, le cristal est un
semi-conducteur. Dans le cas contraire c’est un isolant.