8.6 Exercices
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1. On pose
F n = F
D n
et s n+1 = Tr
F n
D n+1 −
D n
. Montrer que
s n+1 ≤ −
γ
2
D n+1 −
D n
2
,
où désigne la norme matricielle de Fröbenius définie par A =
Tr
AA
T
1/2 . Indication : on utilisera l’inégalité (6.39).
2. Montrer qu’il existe une constante b 0 > 0 telle que pour tout 0 ≤ λ ≤ 1,
E
HF
(1 − λ)
D n + λD n+1
≤ E
HF
D n
+
−
γ
2
λ +
b 0
2
λ
2
Dn+1 −
D n
2
.
3. En déduire qu’il existe une constante α > 0 telle que
E
HF
D n+1
≤ E
HF
D n
−
α
2
D n+1 −
D n
2
.
4. Etablir les deux assertions du Théorème 6.4.
Exercice 8.4 Soit D ∞ ∈ P N un minimiseur du problème de Hartree-Fock
inf
E
HF (D), D ∈ P N
et F ∞ = F(D ∞ ). En adoptant la même démarche qu’à la section 6.2.4 (relative au problème de Hartree-Fock discrétisé), montrer que la N < < N +1 où N
et N +1 désignent respectivement les n-ième (n + 1)-ième plus petites valeurs
propres de F ∞ . Cette propriété a été démontrée dans
V. Bach, E.H. Lieb, M. Loss and J.P. Solovej, There are no unfilled shells in
unrestricted Hartree-Fock theory, Phys. Rev. Letters 72 (1994) 2981-2983.