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8 Convergence des algorithmes SCF
3. En raisonnant comme dans la preuve de la proposition 8.2, montrer que
f (|a|) ≤ 2 inf
B |a| (0)
|∇φ|
2
−
B |a| (0)
|φ|
2
|x|
, φ ∈ H
1
0 (B |a| (0)),
φ radial ,
I R 3
|φ|
2 = 1
.
En déduire que
lim sup
|a|→+∞
f (|a|) ≤ 2λ 1
−∆ −
1
|x|
,
λ 1 (−∆ −
1
|x| ) désignant la première valeur propre de l’opérateur −∆ −
1
|x|
sur L
2 (IR
3 ).
4. On note φ a un minimiseur du problème variationnel définissant g(|a|),
qui est unique à une constante multiplicative près pour a ∈ IR
3 fixé. En
remarquant que φ a (x) = φ a (−x), montrer que
g(|a|) ≥ 2 inf
2
x·a>0
|∇φ|
2 + 2
x·a>0
V a |φ|
2 + D(|φ|
2 , |φ|
2 ),
φ ∈ H
1 (Ω a ),
x·a>0
|φ|
2 =
1
2
avec Ω a =
x ∈ IR
3 , x · a > 0
, et en déduire que
lim inf
|a|→+∞
g(|a|) > 2λ 1
−∆ −
1
|x|
.
5. Conclure en exhibant une donnée initiale conduisant à une oscillation de
l’algorithme de Roothaan.
Exercice 8.2 Soit (f n ) n∈I N et (g n ) n∈I N des suites bornées dans H
1 (IR
3 ) qui
convergent respectivement vers f et g dans L
2
loc (IR
3 ). Soit (h n ) n∈I N une suite
dans L
2 (IR
3 ) qui converge faiblement vers h et soit φ ∈ L
2 (IR
3 ). Montrer que
D(f n g n , h n φ) −→
n→+∞
D(fg, hφ)
où D(u, v) =
I R 3
I R 3
u(x) v(y)
|x − y|
dx dy.
Exercice 8.3 Le but de ce problème est de montrer le Théorème 6.4 qui
décrit la convergence numérique de l’algorithme ODA défini Section 6.2.5. On
suppose ici que la matrice de recouvrement S est égale à l’indentité, autrement
dit que la base d’orbitales atomiques {χ µ } 1≤µ≤N b est orthonormale.