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8 Convergence des algorithmes SCF
On déduit donc des inégalités de Cauchy-Schwarz et de Hardy que
D(ρ D − ρ D , ρ D − ρ D ) ≤ (8N
2 + 4N )α D − D
2
0 ,
ce qui conclut la preuve du lemme 8.8.
Preuve du théorème 8.4. Soit α =
√
N [1+Z +2(2NZ
2 +E
HF (D 0 ))
1/2 ] (qui est
bien défini puisque E
HF (D 0 ) ≥ −2NZ
2 par les inégalités de Cauchy-Schwarz
et de Hardy), b 0 défini comme dans le lemme 8.8 et b > b 0 . Considérons la
fonctionnelle
E
b (D, D
) = Tr(hD) + Tr(hD
) + Tr(G(D)D
) + bD − D
2
0 .
La constante α est telle que
E
b (D, D
) ≤ 2 E
HF (D 0 ) ⇒ ⇒DD 1 ≤ α
1 ≤ α.
La donnée initiale D 0 vérifie donc 0 1 ≤ α. Supposons maintenant que les
hypothèses de récurrence
b
n 1 ≤ α et E
HF (D
b
n ) ≤ E
HF (D 0 ) sont satisfaites
à l’itération n. D’après le lemme 8.8, F(D
b
n ) − bD
b
n a au moins N valeurs
propres strictement négatives et il y a un gap entre la N -ième plus petite
valeur propre et la partie du spectre située au dessus de cette valeur propre.
L’opérateur densité D
b
n+1 est donc défini de manière unique par le principe
Aufbau et est tel que
E
b (D
b
n+1 , D
b
n ) = inf
E
b (D, D
b
n ), D ∈ P N
≤ E
b (D
b
n , D
b
n )
= 2E
HF (D
b
n )
≤ 2E
HF (D 0 ).
On a donc en particulier
b
n+1 1 ≤ α. En outre l’assertion
E
b (D
b
n+1 , D
b
n ) ≤ E
b (D
b
n , D
b
n ),
est équivalente à
E
HF (D
b
n+1 ) −
1
2
Tr((G(D
b
n+1 ) − G(D
b
n )) · (D
b
n+1 − D
b
n ))
+ b
b
n+1 − D
b
n
2
0 ≤ E
HF (D
b
n ).
En utilisant l’assertion 2 du lemme 8.8, on obtient
E
HF (D
b
n+1 ) +
b
2
b
n+1 − D
b
n
2
0 ≤ E
HF (D
b
n ).
(8.8)
En particulier E
HF (D
b
n+1 ) ≤ E
HF (D
b
n ) ≤ E
HF (D 0 ) et la récurrence se poursuit. A ce stade nous avons établi que pour b > b 0 , (a) l’algorithme de levelshifting (LS
b ) avec pour donnée initiale D 0 est uniformément bien posé, (b)