8.3 Convergence de l’algorithme de level-shifting
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ce qui implique que pour b >
1
2 Nα
2 + 4Nα, F(D) − bD possède au moins N
valeurs propres strictement négatives. Notons maintenant
N +1 =
inf
V ⊂ H
1 (IR
3 )
dim V = N + 1
sup
v ∈ V
L 2 = 1
(v, (F(D) − bD)v).
Pour tout V ⊂ H
1 (IR
3 ) tel que dim V = N + 1, il existe ψ ∈ V tel que
ψ ∈ Span(φ 1 , · · · , φ N )
⊥ et ψ L 2 (I R 3 ) = 1. Donc
sup
v ∈ V
L 2 = 1
(v, (F(D) − bD)v) ≥ (ψ, (F(D) − bD)ψ)
= (ψ, F(D)ψ)
≥ λ 1 (−
1
2
∆ + V ).
Il s’ensuit N +1 ≥ λ 1 (−
1
2 ∆ + V ). Donc pour b ≥
1
2 Nα
2 + 4Nα − λ 1 (−
1
2 ∆ +
V ) + γ, il y a un gap au moins égal à γ entre la N -ième plus petite valeur
propre N et la partie du spectre située au dessus de N , ce qui prouve la
première assertion. Pour établir la deuxième assertion, considérons D et D
dans P N avec DD 1 ≤ α,
1 ≤ α, et Φ et Φ
dans W N tels que D = D Φ ,
D
= D Φ . On a en premier lieu,
Tr ((G(D) − G(D
)) · (D − D
))) = D(ρ D − ρ D , ρ D − ρ D )
−
I R 3
I R 3
|(τ D − τ D )(x, y)|
2
|x − y|
dx dy
≤ D(ρ D − ρ D , ρ D − ρ D ).
Ecrivons ensuite φ
i sous la forme
φ
i =
N
j=1
(φ j , φ
i ) φ j + ψ i ,
avec ψ i ∈ Span(φ 1 , · · · , φ N )
⊥ . Soit A jk =
N
i=1 (φ j , φ
i )(φ
i , φ k ). La matrice
[A jk ] 1≤j,k≤N étant symétrique, on peut trouver une matrice unitaire U et une
matrice diagonale réelle ∆ telle que A = U
T ∆U . En notant, ˜
Φ = UΦ, un
calcul simple conduit à
ρ D − ρ D =
N
i=1
(1 − ∆ ii )| ˜
φ i |
2
− 2Re
⎛
⎝
N
i,j=1
(φ
i , φ j )φ j ψ i
⎞
⎠ −
N
i=1
|ψ i |
2 ,
0 ≤ ∆ ii ≤ 1,
D − D
2
0 = 2
N
i=1
(1 − ∆ ii ) = 2
N
i=1
ψ i
2
L 2 (I R 3 ) .