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8 Convergence des algorithmes SCF
Remarque 8.7 Pour des paramètres de shift assez grands, l’algorithme de
level-shifting fournit toujours une solution des équations de Hartree-Fock,
même lorsque le problème de minimisation de Hartree-Fock n’a pas de solution, ce qui se produit par exemple pour les ions négatifs tels que N > 2Z + M
(cf. référence [149]). Cette solution est alors un point critique qui est, dans le
meilleur des cas, un minimum local non global. L’algorithme de level-shifting
conduit donc à une preuve constructive de l’existence de solutions aux équations de Hartree-Fock.
Le lemme ci-dessous est utilisé dans la preuve du théorème 8.4.
Lemme 8.8 Soit α > 0 et γ > 0. Il existe b 0 > 0 tel que pour tout b ≥ b 0 :
1. si D ∈ P N avec DD 1 ≤ α, alors F(D) − bD possède au moins N valeurs
propres strictement négatives et il existe un gap au moins égal à γ entre la
N -ième plus petite valeur propre N (en tenant compte des multiplicités)
et la partie du spectre situé au dessus de cette valeur propre ;
2. si D ∈ P N et D
∈ P N , avec DD 1 ≤ α et
1 ≤ α, alors
Tr ((G(D) − G(D
)) · (D − D
)) ≤ bD − D
2
0 .
Preuve. L’opérateur D étant de rang fini, on a l’égalité des spectres essentiels
σ ess (F(D) − bD) = σ ess (F(D)) = [0, +∞[.
Soit Φ = {φ i } ∈ W N tel que D = D Φ . Pour tout 1 ≤ i ≤ N , i L 2 (I R 3 ) ≤
DD 1 ≤ α. Donc, en utilisant les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Hardy,
on obtient que pour tout v ∈ Span(φ 1 , · · · , φ N ) tel que v L 2 (I R 3 ) = 1,
(v, (F(D) − bD)v) = (v, F(D)v) − b
≤
1
2
I R 3
|∇v|
2
+
1
2
N
i=1
I R 3
I R 3
|φ i (x)v(y) − v(x)φ i (y)|
2
|x − y|
dx dy − b
≤
1
2
Nα
2 + 4Nα − b.
Donc,
N =
inf
V ⊂ H
1 (IR
3 )
dim V = N
sup
v ∈ V
L 2 = 1
(v, (F(D) − bD)v)
≤
sup
v ∈ Span(φ1, · · · , φN )
L 2 = 1
(v, (F(D) − bD)v)
≤
1
2
Nα
2 + 4Nα − b,