8.3 Convergence de l’algorithme de level-shifting
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Théorème 8.4 Pour toute donnée initiale D 0 , il existe un réel positif b 0 tel
que pour tout paramètre de shift b > b 0 ,
1. L’algorithme de level-shifting avec donnée initiale D 0 est uniformément
bien posé.
2. Le suite des énergies E
HF (D
b
n ) décroît vers une valeur stationnaire λ de
la fonctionnelle d’énergie de Hartree-Fock E
HF .
3. La suite
D
b
n
0≤n≤+∞
converge à extraction près vers une valeur stationnaire de la fonctionnelle Hartree-Fock dans (P N , d 1 ). En outre,
+∞
n=0
b
n+1 − D
b
n
2
0 < +∞.
Remarque 8.5 Le théorème 8.4 montre en particulier que pour des paramètres de shift assez grands, l’algorithme de level-shifting peut aussi être considéré comme une technique de minimisation directe de l’énergie. Remarquons
également que le paramètre b 0 dépend de la donnée initiale D 0 . En rassemblant
les résultats obtenus dans la preuve du théorème 8.4 qui figure ci-dessous, on
peut donner l’estimation
b 0 ≤
1
2
Nα
2 + 4Nα − λ 1
−
1
2
∆ + V
,
où α =
√
N [1 + Z + 2(2NZ
2 + E
HF (D 0 ))
1/2 ]. Cette estimation n’est pas très
fine et il est certainement possible de l’améliorer sans trop d’efforts. Cette
borne supérieure peut être calculée a priori au début de l’algorithme et remise
à jour à chaque pas en remplaçant D 0 par D n dans la définition de α (b 0
une fonction croissance de l’énergie de Hartree-Fock, qui elle-même décroît à
chaque pas).
Remarque 8.6 Nous verrons dans la preuve du théorème que la suite engendrée par l’algorithme de level-shifting coïncide avec les itérés de la minimisation par relaxation de la fonctionnelle
E
b (D, D
) = Tr(hD) + Tr(hD
) + Tr(G(D)D
) + b − D
2
0 .
Cette fonctionnelle est la même que celle minimisée par relaxation par l’algorithme de Roothann à ceci près que les termes “non diagonaux” (D = D
) ont
été pénalisés par l’ajout du terme b
2
0 , ceci afin de forcer la convergence
en un point de la “diagonale” (D = D
).
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Théorème 8.4 Pour toute donnée initiale D 0 , il existe un réel positif b 0 tel
que pour tout paramètre de shift b > b 0 ,
1. L’algorithme de level-shifting avec donnée initiale D 0 est uniformément
bien posé.
2. Le suite des énergies E
HF (D
b
n ) décroît vers une valeur stationnaire λ de
la fonctionnelle d’énergie de Hartree-Fock E
HF .
3. La suite
D
b
n
0≤n≤+∞
converge à extraction près vers une valeur stationnaire de la fonctionnelle Hartree-Fock dans (P N , d 1 ). En outre,
+∞
n=0
b
n+1 − D
b
n
2
0 < +∞.
Remarque 8.5 Le théorème 8.4 montre en particulier que pour des paramètres de shift assez grands, l’algorithme de level-shifting peut aussi être considéré comme une technique de minimisation directe de l’énergie. Remarquons
également que le paramètre b 0 dépend de la donnée initiale D 0 . En rassemblant
les résultats obtenus dans la preuve du théorème 8.4 qui figure ci-dessous, on
peut donner l’estimation
b 0 ≤
1
2
Nα
2 + 4Nα − λ 1
−
1
2
∆ + V
,
où α =
√
N [1 + Z + 2(2NZ
2 + E
HF (D 0 ))
1/2 ]. Cette estimation n’est pas très
fine et il est certainement possible de l’améliorer sans trop d’efforts. Cette
borne supérieure peut être calculée a priori au début de l’algorithme et remise
à jour à chaque pas en remplaçant D 0 par D n dans la définition de α (b 0
une fonction croissance de l’énergie de Hartree-Fock, qui elle-même décroît à
chaque pas).
Remarque 8.6 Nous verrons dans la preuve du théorème que la suite engendrée par l’algorithme de level-shifting coïncide avec les itérés de la minimisation par relaxation de la fonctionnelle
E
b (D, D
) = Tr(hD) + Tr(hD
) + Tr(G(D)D
) + b − D
2
0 .
Cette fonctionnelle est la même que celle minimisée par relaxation par l’algorithme de Roothann à ceci près que les termes “non diagonaux” (D = D
) ont
été pénalisés par l’ajout du terme b
2
0 , ceci afin de forcer la convergence
en un point de la “diagonale” (D = D
).