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8 Convergence des algorithmes SCF
inf
V ⊂ H
1 (IR
3 )
dim V = N
sup
v ∈ V
L 2 = 1
(v, F(D Ψ )v) ≤ µ
N = lim
k→+∞
n k +2
N
,
et d’autre part pour tout V ⊂ H
1 (IR
3 ) avec dim V = N + 1,
sup
v ∈ V
L 2 = 1
(v, F(D n k +1 )v) ≥
n k +2
N
+ γ.
Comme V est de dimension finie, il vient à la limite
sup
v ∈ V
L 2 = 1
(v, F(D Ψ )v) ≥ µ
N + γ,
et donc
inf
V ⊂ H
1 (IR
3 )
dim V = N + 1
sup
v ∈ V
L 2 = 1
(v, F(D Ψ )v) ≥
inf
V ⊂ H
1 (IR
3 )
dim V = N
sup
v ∈ V
L 2 = 1
(v, F(D Ψ )v) + γ.
Finalement, comme D Φ = D Φ , on obtient
−
1
2
∆ψ i + V ψ i +
ρ DΦ
1
|x|
ψ i −
I R 3
τ DΦ (·, y)
| · −y|
ψ i (y) dy = ν i ψ i ,
−
1
2
∆φ
i + V φ
i +
ρ DΨ
1
|x|
φ
i −
I R 3
τ DΨ (·, y)
| · −y|
φ
(y) dy = µ
i φ
i ,
ce qui permet de conclure que (D Φ , D Ψ ) = (D Φ , D Ψ ) est un point critique
de la fonctionnelle E associé à la valeur stationnaire λ. La convergence de la
série
+∞
n=0 n+2 − D n
2
0 est obtenue en remarquant qu’au vu de l’hypothèse
“uniformément bien-posé”,
Tr(F(D n+1 )D n ) ≥ Tr(F(D n+1 )D n+2 ) + γ n+2 − D n
2
0 .
En ajoutant Tr(hD n+1 ) aux deux membres, on aboutit à
E(D n , D n+1 ) ≥ E(D n+1 , D n+2 ) + γ n+2 − D n
2
0
pour tout n ∈ IN. On obtient le résultat escompté en sommant les inégalités
ci-dessus pour n ∈ IN.
8.3 Convergence de l’algorithme de level-shifting
Le théorème suivant est une preuve de la convergence globale de l’algorithme
de level-shifting lorsque le paramètre de shift est assez grand.