8.2 Etude de l’algorithme de Roothaan
217
−→
k→+∞
D
⎛
⎝
N
j=1
|χ j |
2 , |φ i |
2
⎞
⎠ −
I R 3
I R 3
N
j=1 χ j (x)χ j (y)
|x − y|
φ i (x)φ i (y) dx dy.
Donc
lim
k→+∞
I R 3
|∇φ
n k
i |
2 = 2 lim
k→+∞
n k
i −
I R 3
V |φ
n k
i |
2
−D
⎛
⎝
N
j=1
|φ
n k −1
j
|
2 , |φ
n k
i |
2
⎞
⎠
+
I R 3
I R 3
N
j=1
φ
n k −1
j
(x)φ
n k −1
j
(y)
|x − y|
φ
n k
i (x)φ
n k
i (y) dx dy
⎞
⎠
= 2
⎛
⎝ µ i −
I R 3
V |φ i |
2
− D
⎛
⎝
N
j=1
|χ j |
2 , |φ i |
2
⎞
⎠
+
I R 3
I R 3
N
j=1
χ j (x)χ j (y)
|x − y|
φ i (x)φ i (y) dx dy
⎞
⎠
=
I R 3
|∇φ i |
2 ,
ce qui prouve la convergence de (φ
n k
i ) k∈I N dans H
1 (IR
3 ). De même, (φ
n k +1
i
) k∈I N
et (φ
n k +2
i
) k∈I N convergent vers ψ i et φ
i dans H
1 (IR
3 ). En particulier, Φ = {φ i },
Ψ = {ψ i } et Φ
= {φ
i } sont dans W N et (D n k ), (D n k +1 ) et (D n k +2 ) convergent
vers D Φ , D Ψ et D Φ respectivent dans (P N , d 1 ). En conséquence,
E(D Φ , D Ψ ) = E(D Φ , D Ψ ) = λ.
Mais on a aussi
λ = lim
k→+∞
E(D n k +1 , D n k +2 )
= lim
k→+∞
[inf {E(D n k +1 , D), D ∈ P N }]
≤ inf {E(D Ψ , D), D ∈ P N } ,
puisque pour tout D
∈ P N , la fonction D → E(D, D
) est continue de (P N , d 1 )
dans IR. Finalement,
E(D Φ , D Ψ ) = E(D Φ , D Ψ ) = inf {E(D Ψ , D), D ∈ P N } .
Donc D Φ = D Φ , puisqu’au vu de l’hypothèse “uniformément bien posé” et par
continuité, il y a un gap au moins égal à γ entre la N -ième plus petite valeur
propre de F(D Ψ ) et la partie du spectre qui est au-dessus de cette valeur
propre. Détaillons ce dernier point : d’une part,