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8 Convergence des algorithmes SCF
Par ailleurs,
µ i
I R 3
|φ i |
2 =
1
2
I R 3
|∇φ i |
2 +
I R 3
V |φ i |
2 + D
⎛
⎝
N
j=1
|χ j |
2 , |φ i |
2
⎞
⎠
−
I R 3
I R 3
N
j=1 χ j (x)χ j (y)
|x − y|
φ i (x)φ i (y) dx dy
=
1
2
I R 3
|∇φ i |
2 +
I R 3
V |φ i |
2
+
1
2
I R 3
I R 3
N
j=1
|φ i (x)χ j (y) − φ i (y)χ j (x)|
2
|x − y|
dx dy
≤ lim inf
k→+∞
1
2
I R 3
|∇φ
n k
i |
2 +
I R 3
V |φ
n k
i |
2
+
1
2
I R 3
I R 3
N
j=1
|φ
n k
i (x)φ
n k −1
j
(y) − φ
n k
i (y)φ
n k −1
j
(x)|
2
|x − y|
dx dy
⎞
⎠
= lim inf
k→+∞
1
2
I R 3
|∇φ
n k
i |
2 +
I R 3
V |φ
n k
i |
2 + D(ρ Dn k −1 , |φ
n k
i |
2 )
−
I R 3
I R 3
τ Dn k −1 (x, y)
|x − y|
φ
n k
i (x)φ
n k
i (y) dx dy
= lim inf
k→+∞
n k
i
I R 3
|φ
n k
i |
2
= lim inf
k→+∞
(
n k
i ) = µ i
On déduit de µ i ≤ < 0 que
I R 3
|φ i |
2
≥ 1, et donc que
I R 3
|φ i |
2 = 1 puisque
I R 3
|φ i |
2
≤ lim inf
k→+∞
I R 3
|φ
n k
i |
2 = 1.
Les N suites (φ
n k
i ) k∈I N convergent donc fortement dans L
2 (IR
3 ). En particulier
Φ = {φ i } ∈ W N . En outre, comme (φ
n k −1
i
) k∈I N est bornée dans H
1 (IR
3 )
et converge dans L
2
loc (IR
3 ), et comme (φ
n k
i ) k∈I N est bornée dans H
1 (IR
3 ) et
converge dans L
2 (IR
3 ), on laisse au lecteur le soin de vérifier que pour tout
1 ≤ i ≤ N
I R 3
V |φ
n k
i |
2
−→
k→+∞
I R 3
V |φ i |
2
et
D
⎛
⎝
N
j=1
|φ
n k −1
j
|
2 , |φ
n k
i |
2
⎞
⎠ −
I R 3
I R 3
j φ
n k −1
j
(x)φ
n k −1
j
(y)
|x − y|
φ
n k
i (x)φ
n k
i (y) dx dy