8.2 Etude de l’algorithme de Roothaan
215
– pour tout n ∈ IN, D Φn = D n ;
– pour tout n ∈ IN,
F(D n )φ
n+1
i
=
n+1
i
φ
n+1
i
,
1 ≤ i ≤ N,
avec
n+1
1
≤
n+1
2
≤ · · · ≤
n+1
N .
En rassemblant les résultats obtenus jusqu’alors, on voit que
1
2
N
i=1
(
n
i L 2 − 2Z)
2 +
N
i=1
1
2
(
n+1
i
L 2 − 2Z)
2
− 4 N Z
2
≤ E(D n , D n+1 )
≤ 2 E
HF (D 0 ).
Donc, pour tout 1 ≤ i ≤ N , la suite (φ
n
i ) n∈I N est bornée dans H
1 (IR
3 ). En
outre, la suite (
n
i ) n∈I N est bornée dans IR pour tout 1 ≤ i ≤ N . En effet, elle
est bornée inférieurement par la valeur propre fondamentale de −
1
2 ∆ + V à
cause de la positivité de l’opérateur G(D n ) et elle est bornée supérieurement
par < 0. On peut donc extraire des suites (φ
n
i ) et (
n
i ) des sous-suites qui
vérifient pour tout 1 ≤ i ≤ N :
φ
n k −1
i
−→
k→+∞
χ i
φ
n k
i
−→
k→+∞
φ i
φ
n k +1
i
−→
k→+∞
ψ i
φ
n k +2
i
−→
k→+∞
φ
i
(8.7)
n k
i
−→
k→+∞
µ i ≤
n k +1
i
−→
k→+∞
ν i ≤
n k +2
i
−→
k→+∞
µ
i ≤
les convergences dans (8.7) ayant lieu à la fois dans H
1 (IR
3 ) faible, dans
L
2
loc (IR
3 ) fort et presque partout. En passant à la limite dans H
−1 (IR
3 ) dans
les équations
F(D n k −1 )φ
n k
i =
n k
i φ
n k
i ,
F(D n k )φ
n k +1
i
=
n k +1
i
φ
n k +1
i
,
F(D n k +1 )φ
n k +2
i
=
n k +2
i
φ
n k +2
i
,
lorsque k → +∞, on obtient pour tout 1 ≤ i ≤ N
−
1
2
∆φ i + V φ i +
N
i=1
|χ i |
2
1
|x|
φ i −
I R 3
N
i=1 χ i (.)χ i (y)
| · −y|
φ(y) dy = µ i φ i ,
−
1
2
∆ψ i + V ψ i +
N
i=1
|φ i |
2
1
|x|
ψ i −
I R 3
N
i=1 φ i (.)φ i (y)
| · −y|
ψ i (y) dy = ν i ψ i ,
−
1
2
∆φ
i + V φ
i +
N
i=1
|ψ i |
2
1
|x|
φ
i −
I R 3
N
i=1 ψ i (.)ψ i (y)
| · −y|
φ
(y) dy = µ
i φ
i .
Le passage à la limite dans les différents termes de l’équation est laissé en
exercice (voir notamment l’exercice 8.2).