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8 Convergence des algorithmes SCF
d D E(D, D
) = h + G(D) = F(D)
et
d D E(D, D
) = h + G(D
) = F(D
).
Sous l’hypothèse “uniformément bien posé”, il est donc clair que D 2n+1 , resp.
D 2n+2 , est le seul élément de P N qui vérifie
E(D 2n , D 2n+1 ) = inf {E(D 2n , D), D ∈ P N } ,
resp.
E(D 2n+2 , D 2n+1 ) = inf {E(D, D 2n+1 ), D ∈ P N } .
La première assertion du théorème en découle. Il vient ensuite immédiatement
E(D 2n+2 , D 2n+3 ) = inf {E(D 2n+2 , D), D ∈ P N }
≤ E(D 2n+2 , D 2n+1 )
= inf {E(D, D 2n+1 ), D ∈ P N }
≤ E(D 2n , D 2n+1 ).
La suite (E(D 2n , D 2n+1 )) est donc décroissante. Par ailleurs, la fonctionnelle
E est bornée inférieurement par −2 N Z
2 . En effet, on a d’une part
Tr(G(D)D
) =
I R 3
I R 3
ρ Φ (x)ρ Φ (x
) − τ Φ (x, x
)τ Φ (x
, x)
|x − x |
dx dx
=
1
2
I R 3
I R 3
N
i=1
N
j=1
|φ i (x)φ
j (x
) − φ j (x)φ i (x
)|
2
|x − x |
dx dx
≥ 0,
pour tout (D, D
) ∈ P N × P N , Φ = {φ i } ∈ W N et Φ
= {φ
i } ∈ W N étant tels
que D Φ = D et D Φ = D
, et on a d’autre part
Tr(hD) =
N
i=1
1
2
I R 3
|∇φ i |
2
−
M
k=1
z k
I R 3
|φ i |
2 (x)
|x − ¯
x k |
dx
≥
N
i=1
1
2
I R 3
|∇φ i |
2
−
M
k=1
z k
I R 3
|φ i |
2 (x)
|x − ¯
x k | 2 dx
1/2
≥
N
i=1
1
2
I R 3
|∇φ i |
2
− 2 Z
I R 3
|∇φ i |
2
1/2
≥
1
2
N
i=1
( i L 2 − 2Z)
2
− 2N Z
2
≥ −2N Z
2 ,
pour tout D ∈ P N , Φ = {φ i } ∈ W N étant tel que D Φ = D. La suite
(E(D 2n , D 2n+1 )) décroît donc vers une certaine limite λ ∈ IR.
Considérons maintenant une suite (Φ n ) = ({φ
n
i }) dans W N telle que