8.2 Etude de l’algorithme de Roothaan
207
f
1
z = 1
1
z = 6
z = 7
2
3
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
2
3
4
5
6
7
f
8
9
10
11
12
13
14
r 0
Atome H
Atome C
Atome N
Fig. 8.1. Supports des φi pour la molécule HCN.
– φ
σ
i L 3/2 (I R 3 ) = σ
−1/2
φ i L 3/2 (I R 3 ) ;
– W
σ = V + (ρ D σ
1
|x| ) est tel que
W
σ (x)
≥ −
z k
|x−¯ x k |
si |x − ¯
x k | < r 0 , 1 ≤ k ≤ M,
≥ 0
sinon.
(le lecteur pourra à titre d’exercice vérifier cette assertion qui est une
conséquence du théorème de Gauss de l’électrostatique pour les distributions de charge à symétrie sphérique).
Soit φ ∈ H
1 (IR
3 ). En utilisant la notation standard
D(u, v) =
I R 3
I R 3
u(x) v(y)
|x − y|
dx dy,
il vient
(φ, F(D
σ )φ) =
1
2
I R 3
|∇φ|
2 +
I R 3
W
σ
|φ|
2
−
N
k=1
D(φ
σ
i φ, φ
σ
i φ)
≥
M
k=1
1
4M
I R 3
|∇φ|
2
− 4Mz k
|x−¯ x k | |φ(x)|
2
|x − ¯
x k |
+
N
i=1
1
4N
I R 3
|∇φ|
2
− 4ND(φ
σ
i φ, φ
σ
i φ)
.
Le rayon r 0 ayant été choisi tel que 1 ≤ k ≤ M , on a par l’inégalité de Hardy
I R 3
|∇φ|
2
− 4Mz k
|x−¯ x k | |φ(x)|
2
|x − ¯
x k |
≥ 0,
et on a par ailleurs pour tout φ ∈ H
1 (IR
3 ) et tout ψ ∈ H
1 (IR
3 ),