200
7 Choix des bases
B. Klahn and W.A. Bingel, The convergence of the Rayleigh-Ritz method in
Quantum Chemistry, Theor. Chim. Acta 44 (1977) 26-43.
et nous renvoyons à [50] pour plus de détails.
Pour ce qui est des méthodes de synthèses modales, voir les articles
I. Charpentier, F. Devuyst et Y. Maday, Méthode de synthèse modale dans
une décomposition de domaine avec recouvrement, C. R. Acad. Sci. Paris 322
Série I (1996) 881-888.
et
Charpentier, F. Devuyst et Y. Maday, A component mode synthesis method
of infinite order of accuracy using subdomain overlapping, Prépublication du
Laboratoire d’Analyse Numérique, Université Pierre et Marie Curie (1996).
L’analyse numérique a priori et a posteriori de problèmes non linéaires se
conduit avec des outils abstraits standard qui sont par exemple détaillés dans
la contribution
G. Caloz and J. Rappaz, Numerical analysis for nonlinear and bifurcation
problems, in : Handbook of Numerical analysis, J.-L. Lions et P. G. Ciarlet
eds, Volume 5.
7.9 Exercices
Exercice 7.1 L’objet est de comprendre pourquoi on a utilisé trois sousdomaines dans la décomposition du domaine en “L” dans la section 7.1. Montrer en effet que si on remplace (7.2) par Ω = Ω
1
∪Ω
2 , on ne peut exhiber une
partition de l’unité en deux fonctions régulières. En déduire une convergence,
mais d’ordre fini, de la méthode de synthèse modale.
Exercice 7.2 Outre (7.5), la théorie générale de l’approximation des valeurs
propres par une méthode variationelle basée sur un espace X N propose également le résultat suivant : pour tout i ∈ IN, il existe une suite u i;n qui converge
vers u i si ce vecteur propre est bien approché par les X N au sens ou
i − u i;n H 1 (Ω) ≤ C inf
vn∈Xn
u i − v n H 1 (Ω)
(7.36)
et
|λ i − λ i;n | ≤ Cu i − u i;n
2
H 1 (Ω) .
(7.37)
Montrer que si dans le cas de la section 7.1, on définit X N par
X n = Vect{u
k
, k = 1, 2, 3, L
k
i − N/2 ≤ ≤ L
k
i + N/2}
(7.38)
ou L
k
i est l’indice de la valeur propre λ
k
j la plus proche de λ i . Montrer que
l’approximation du système spectral (u i , λ i ) est, comme dans la section 7.1,
d’un ordre infini.
7 Choix des bases
B. Klahn and W.A. Bingel, The convergence of the Rayleigh-Ritz method in
Quantum Chemistry, Theor. Chim. Acta 44 (1977) 26-43.
et nous renvoyons à [50] pour plus de détails.
Pour ce qui est des méthodes de synthèses modales, voir les articles
I. Charpentier, F. Devuyst et Y. Maday, Méthode de synthèse modale dans
une décomposition de domaine avec recouvrement, C. R. Acad. Sci. Paris 322
Série I (1996) 881-888.
et
Charpentier, F. Devuyst et Y. Maday, A component mode synthesis method
of infinite order of accuracy using subdomain overlapping, Prépublication du
Laboratoire d’Analyse Numérique, Université Pierre et Marie Curie (1996).
L’analyse numérique a priori et a posteriori de problèmes non linéaires se
conduit avec des outils abstraits standard qui sont par exemple détaillés dans
la contribution
G. Caloz and J. Rappaz, Numerical analysis for nonlinear and bifurcation
problems, in : Handbook of Numerical analysis, J.-L. Lions et P. G. Ciarlet
eds, Volume 5.
7.9 Exercices
Exercice 7.1 L’objet est de comprendre pourquoi on a utilisé trois sousdomaines dans la décomposition du domaine en “L” dans la section 7.1. Montrer en effet que si on remplace (7.2) par Ω = Ω
1
∪Ω
2 , on ne peut exhiber une
partition de l’unité en deux fonctions régulières. En déduire une convergence,
mais d’ordre fini, de la méthode de synthèse modale.
Exercice 7.2 Outre (7.5), la théorie générale de l’approximation des valeurs
propres par une méthode variationelle basée sur un espace X N propose également le résultat suivant : pour tout i ∈ IN, il existe une suite u i;n qui converge
vers u i si ce vecteur propre est bien approché par les X N au sens ou
i − u i;n H 1 (Ω) ≤ C inf
vn∈Xn
u i − v n H 1 (Ω)
(7.36)
et
|λ i − λ i;n | ≤ Cu i − u i;n
2
H 1 (Ω) .
(7.37)
Montrer que si dans le cas de la section 7.1, on définit X N par
X n = Vect{u
k
, k = 1, 2, 3, L
k
i − N/2 ≤ ≤ L
k
i + N/2}
(7.38)
ou L
k
i est l’indice de la valeur propre λ
k
j la plus proche de λ i . Montrer que
l’approximation du système spectral (u i , λ i ) est, comme dans la section 7.1,
d’un ordre infini.