7.8 Pour en savoir plus
199
et que d’autre part, en utilisant la définition (7.35) de ˆ
W , il découle de la
stabilité de ce problème que
ˆ
W H ≤ CDE
Φ δ (Φ δ ) Φ ⊥ ⊥∗
δ
≤ CDE
Φ δ (Φ δ ) − DE
Φ0 (Φ 0 ) Φ ⊥ ⊥∗
δ
≤ CDE
Φ δ (Φ δ ) − DE
Φ δ (Φ 0 ) Φ ⊥ ⊥∗
δ
+ CDE
Φ δ (Φ 0 ) − DE
Φ0 (Φ 0 ) Φ ⊥ ⊥∗
δ
≤ Cε.
Dans les inégalités ci-dessus, on a introduit la norme duale dans l’espace Φ
⊥ ⊥
δ
et utilisé le fait que DE
Φ0 était nul.
Dans [163], des raffinements itératifs sur cette reconstruction d’erreur sont
proposés, qui permettent d’améliorer d’un ordre la précision de la simulation.
On renvoie à cette publication pour ces développements ainsi que pour les
résultats numériques correspondants.
7.7 Résumé
La précision des méthodes de discrétisation dépend fondamentalement du
choix des espaces de dimension finie choisis pour l’approximation. Dans ce
chapitre nous avons étudié cet aspect en montrant qu’effectivement les espaces
utilisés dans les codes de Chimie Quantique approchent bien la solution.
Dans un deuxième temps, nous avons aussi fait sentir dans le cas général,
grâce à une analyse d’un problème plus simple, que le taux de convergence
démontré n’est pas suffisant pour expliquer qu’avec si peu de degrés de liberté
(dimension des espaces d’approximation) la solution numérique obtenue est
très précise. Ceci nous amène à introduire le concept des méthodes de base
réduite dont la portée dépasse les problèmes de Chimie Quantique et dont le
développement est aussi beaucoup plus poussé dans des cadres plus simples.
Nous avons montré enfin que la solution numérique calculée par approximation variationnelle sur les espaces discrets est asymptotiquement aussi
proche de la solution exacte que la meilleure approximation. La non linéarité du problème de Hartree-Fock rend cette analyse numérique non triviale.
Faire ce qu’il y a de mieux n’est pas forcément, pour un calcul donné, faire
suffisamment précis ; c’est pourquoi, à côté de cette analyse a priori, l’analyse
numérique actuelle ne peut se passer d’une analyse a posteriori qui permet
d’établir, une fois le calcul fait, des barres d’erreur sur des quantités d’intérêt,
du même type que ce qui peut exister pour des résultats expérimentaux. C’est
ce que nous proposons donc dans la dernière partie de ce chapitre.
7.8 Pour en savoir plus
Les premiers travaux sur l’analyse systématique de l’approximation par des
Gaussiennes sont dus à Klahn et Bingel :
199
et que d’autre part, en utilisant la définition (7.35) de ˆ
W , il découle de la
stabilité de ce problème que
ˆ
W H ≤ CDE
Φ δ (Φ δ ) Φ ⊥ ⊥∗
δ
≤ CDE
Φ δ (Φ δ ) − DE
Φ0 (Φ 0 ) Φ ⊥ ⊥∗
δ
≤ CDE
Φ δ (Φ δ ) − DE
Φ δ (Φ 0 ) Φ ⊥ ⊥∗
δ
+ CDE
Φ δ (Φ 0 ) − DE
Φ0 (Φ 0 ) Φ ⊥ ⊥∗
δ
≤ Cε.
Dans les inégalités ci-dessus, on a introduit la norme duale dans l’espace Φ
⊥ ⊥
δ
et utilisé le fait que DE
Φ0 était nul.
Dans [163], des raffinements itératifs sur cette reconstruction d’erreur sont
proposés, qui permettent d’améliorer d’un ordre la précision de la simulation.
On renvoie à cette publication pour ces développements ainsi que pour les
résultats numériques correspondants.
7.7 Résumé
La précision des méthodes de discrétisation dépend fondamentalement du
choix des espaces de dimension finie choisis pour l’approximation. Dans ce
chapitre nous avons étudié cet aspect en montrant qu’effectivement les espaces
utilisés dans les codes de Chimie Quantique approchent bien la solution.
Dans un deuxième temps, nous avons aussi fait sentir dans le cas général,
grâce à une analyse d’un problème plus simple, que le taux de convergence
démontré n’est pas suffisant pour expliquer qu’avec si peu de degrés de liberté
(dimension des espaces d’approximation) la solution numérique obtenue est
très précise. Ceci nous amène à introduire le concept des méthodes de base
réduite dont la portée dépasse les problèmes de Chimie Quantique et dont le
développement est aussi beaucoup plus poussé dans des cadres plus simples.
Nous avons montré enfin que la solution numérique calculée par approximation variationnelle sur les espaces discrets est asymptotiquement aussi
proche de la solution exacte que la meilleure approximation. La non linéarité du problème de Hartree-Fock rend cette analyse numérique non triviale.
Faire ce qu’il y a de mieux n’est pas forcément, pour un calcul donné, faire
suffisamment précis ; c’est pourquoi, à côté de cette analyse a priori, l’analyse
numérique actuelle ne peut se passer d’une analyse a posteriori qui permet
d’établir, une fois le calcul fait, des barres d’erreur sur des quantités d’intérêt,
du même type que ce qui peut exister pour des résultats expérimentaux. C’est
ce que nous proposons donc dans la dernière partie de ce chapitre.
7.8 Pour en savoir plus
Les premiers travaux sur l’analyse systématique de l’approximation par des
Gaussiennes sont dus à Klahn et Bingel :