198
7 Choix des bases
a Φ (ξ, ξ) ≥ a Φ0 ( ˜
ξ, ˜
ξ) − c(ξ
2
H + ˜
ξ
2
H )Φ 0 − Φ H
et à l’α-coercivité de a Φ0 sur Φ
⊥ ⊥
0 , en utilisant plusieurs fois le fait que ||ξ H −
˜
ξ H | ≤ ≤ξ H Φ 0 − Φ H .
On s’intéresse donc maintenant à la solution approchée Φ δ et, suivant le lemme
7.3, on choisit une rotation U agissant sur Φ 0 telle que U Φ 0 −Φ δ = SΦ δ +W ∈
S Φ δ + Φ
⊥ ⊥
δ . On effectue ensuite le développement
E
HF (Φ 0 ) − E
HF (Φ δ ) = E
Φ δ (Φ 0 ) − E
Φ δ (Φ δ )
= E
Φ δ (U Φ 0 ) − E
Φ δ (Φ δ )
= E
Φ δ (Φ δ + SΦ δ + W ) − E
Φ δ (Φ δ )
= DE
Φ δ (Φ δ )(SΦ δ + W )
+
1
2
D
2
E
Φ δ (Φ δ )(SΦ δ + W, SΦ δ + W ) + O(ε
3 )
où ε = U Φ 0 − Φ δ H . La définition de Φ δ comme minimiseur sur X δ montre
que DE
Φ δ s’annule sur X δ donc en particulier DE
Φ δ (Φ δ )(SΦ δ ) = 0. Rappelant que SΦ δ est en O(ε
2 ) et W en O(ε), on obtient
E
HF (Φ 0 ) − E
HF (Φ δ ) = DE
Φ δ (Φ δ )(W ) +
1
2
D
2
E
Φ δ (Φ δ )(W, W ) + O(ε
3 ).
On considère alors le problème de trouver une erreur reconstruite ˆ
W ∈ Φ
⊥ ⊥
δ
telle que
D
2
E
Φ δ (Φ δ )( ˆ
W , Ψ) + DE
Φ δ (Φ δ )(Ψ) = 0, ∀Ψ ∈ Φ
⊥ ⊥
δ .
(7.35)
Ce problème possède une unique solution d’après la coercivité de a Φ δ ≡
D
2
E
Φ δ . Cette erreur reconstruite permet maintenant d’écrire
E
HF (Φ 0 ) = E
HF (Φ δ ) − D
2
E
Φ δ ( ˆ
W , W ) +
1
2
D
2
E
Φ δ (Φ δ )(W, W ) + O(ε
3 )
= E
HF (Φ δ ) −
1
2
D
2
E
Φ δ ( ˆ
W , ˆ
W ) +
1
2
D
2
E
Φ δ (Φ δ )(W − ˆ
W , W − ˆ
W )
+O(ε
3 ).
L’expression E
HF (Φ δ ) −
1
2 D
2
E
Φ δ ( ˆ
W , ˆ
W ) fournit donc une borne inférieure
explicite (asymptotique à un O(ε
3 ) près) de E
HF (Φ 0 ), et comme il est évident
que E
HF (Φ 0 ) ≤ E
HF (Φ δ ), on a ainsi encadré la valeur exacte du fondamental
par des quantités effectivement calculables. On peut en effet remarquer que le
problème (7.35) est un problème dont le coût (en terme de temps de calcul)
est comparable à celui d’une itération d’un calcul de valeurs propres.
Il est crucial maintenant de remarquer que la fourchette de cet encadrement
est un O(ε
2 ). Cela vient de ce que d’une part
1
2
D
2
E
Φ δ ( ˆ
W , ˆ
W ) O( ˆ
W
2
H ),
7 Choix des bases
a Φ (ξ, ξ) ≥ a Φ0 ( ˜
ξ, ˜
ξ) − c(ξ
2
H + ˜
ξ
2
H )Φ 0 − Φ H
et à l’α-coercivité de a Φ0 sur Φ
⊥ ⊥
0 , en utilisant plusieurs fois le fait que ||ξ H −
˜
ξ H | ≤ ≤ξ H Φ 0 − Φ H .
On s’intéresse donc maintenant à la solution approchée Φ δ et, suivant le lemme
7.3, on choisit une rotation U agissant sur Φ 0 telle que U Φ 0 −Φ δ = SΦ δ +W ∈
S Φ δ + Φ
⊥ ⊥
δ . On effectue ensuite le développement
E
HF (Φ 0 ) − E
HF (Φ δ ) = E
Φ δ (Φ 0 ) − E
Φ δ (Φ δ )
= E
Φ δ (U Φ 0 ) − E
Φ δ (Φ δ )
= E
Φ δ (Φ δ + SΦ δ + W ) − E
Φ δ (Φ δ )
= DE
Φ δ (Φ δ )(SΦ δ + W )
+
1
2
D
2
E
Φ δ (Φ δ )(SΦ δ + W, SΦ δ + W ) + O(ε
3 )
où ε = U Φ 0 − Φ δ H . La définition de Φ δ comme minimiseur sur X δ montre
que DE
Φ δ s’annule sur X δ donc en particulier DE
Φ δ (Φ δ )(SΦ δ ) = 0. Rappelant que SΦ δ est en O(ε
2 ) et W en O(ε), on obtient
E
HF (Φ 0 ) − E
HF (Φ δ ) = DE
Φ δ (Φ δ )(W ) +
1
2
D
2
E
Φ δ (Φ δ )(W, W ) + O(ε
3 ).
On considère alors le problème de trouver une erreur reconstruite ˆ
W ∈ Φ
⊥ ⊥
δ
telle que
D
2
E
Φ δ (Φ δ )( ˆ
W , Ψ) + DE
Φ δ (Φ δ )(Ψ) = 0, ∀Ψ ∈ Φ
⊥ ⊥
δ .
(7.35)
Ce problème possède une unique solution d’après la coercivité de a Φ δ ≡
D
2
E
Φ δ . Cette erreur reconstruite permet maintenant d’écrire
E
HF (Φ 0 ) = E
HF (Φ δ ) − D
2
E
Φ δ ( ˆ
W , W ) +
1
2
D
2
E
Φ δ (Φ δ )(W, W ) + O(ε
3 )
= E
HF (Φ δ ) −
1
2
D
2
E
Φ δ ( ˆ
W , ˆ
W ) +
1
2
D
2
E
Φ δ (Φ δ )(W − ˆ
W , W − ˆ
W )
+O(ε
3 ).
L’expression E
HF (Φ δ ) −
1
2 D
2
E
Φ δ ( ˆ
W , ˆ
W ) fournit donc une borne inférieure
explicite (asymptotique à un O(ε
3 ) près) de E
HF (Φ 0 ), et comme il est évident
que E
HF (Φ 0 ) ≤ E
HF (Φ δ ), on a ainsi encadré la valeur exacte du fondamental
par des quantités effectivement calculables. On peut en effet remarquer que le
problème (7.35) est un problème dont le coût (en terme de temps de calcul)
est comparable à celui d’une itération d’un calcul de valeurs propres.
Il est crucial maintenant de remarquer que la fourchette de cet encadrement
est un O(ε
2 ). Cela vient de ce que d’une part
1
2
D
2
E
Φ δ ( ˆ
W , ˆ
W ) O( ˆ
W
2
H ),