7.6 Analyse a posteriori
197
Théorème 7.7 Sous l’hypothèse que X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 , il existe une constante c >
0 telle que si Φ 0 − π δ Φ 0 1∗ ≤ c, il existe une unique solution Φ δ au problème
de minimisation de Hartree-Fock discret dans un voisinage de π δ Φ 0 . En outre,
cette solution vérifie
δ − Φ 0 1∗ ≤ cΦ 0 − π δ Φ 0 1∗ .
On a donc démontré l’existence d’une unique solution locale et en même temps
la propriété de convergence optimale pour cette méthode d’approximation.
7.6 Analyse a posteriori
Les résultats de la section précédente permettent donc de se convaincre de
l’optimalité de l’approximation offerte par cette technique de minimisation
de E
HF sur un espace de dimension finie : il n’est pas nécessaire a priori de
chercher une autre définition de l’approximation Φ δ de Φ 0 puisque celle dont
nous disposons est optimale. Néanmoins, le résultat du théorème 7.7 est inutile
pour un calcul donné si l’on cherche à juger de sa pertinence. La question qui
reste en suspens est “avons-nous utilisé une base assez grande ?”, autrement
dit “quelle est l’erreur relative sur le niveau fondamental ?”. Pour répondre
à cette question, on va commencer par montrer, en supposant toujours que
X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 , que a Φ reste elliptique pour tout Φ suffisamment proche de Φ 0 .
Lemme 7.8 Sous l’hypothèse que X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 , il existe une constante α > 0
ne dépendant que de Φ 0 , telle que pour toute matrice U ∈ U(N ) la forme
bilinéaire a U Φ0 = D
2
E
U Φ0 est α-coercive sur Φ
⊥ ⊥
0 .
Preuve. On remarque tout d’abord que (U Φ 0 )
⊥ ⊥ = Φ
⊥ ⊥
0 et que pour tout
Ψ 1 ∈ H ∩ K, Ψ 2 ∈ H, U ∈ U(N ), on a a U Ψ1 (U Ψ 2 , UΨ 2 ) = a Ψ1 (Ψ 2 , Ψ 2 ). La
α-coercivité découle alors du lemme 7.6.
Lemme 7.9 Sous l’hypothèse que X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 , il existe une constante η > 0
ne dépendant que de Φ 0 , telle que pour tout Φ ∈ H ∩ K avec Φ 0 − Φ H ≤ η,
la forme bilinéaire a Φ est coercive sur Φ
⊥ ⊥ avec une constante d’ellipticité ne
dépendant que de Φ 0 .
Preuve. Soit ξ ∈ Φ
⊥ ⊥ de norme ξ H ≤ 1 que l’on écrit ξ = M Φ 0 + ˜
ξ,
avec ˜
ξ ∈ Φ
⊥ ⊥
0 . On note tout d’abord que |M ij | = |(ξ i , Φ 0,j ) L 2 |, et on déduit
facilement que |M ij | ≤ ≤ξ [L 2 (I R 3 )] N Φ 0 − Φ [L 2 (I R 3 )] N . D’où l’on tire,
a Φ (ξ, ξ) = a Φ ( ˜
ξ + MΦ 0 , ˜
ξ + MΦ 0 )
≥ a Φ ( ˜
ξ, ˜
ξ) − cξ H ˜
ξ H Φ 0 − Φ H − cξ
2
H 0 − Φ
2
H .
Par ailleurs, |Λ ij −Λ
0
ij | ≤ cΦ 0 −Φ H . On conclut la preuve grâce à l’inégalité
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Théorème 7.7 Sous l’hypothèse que X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 , il existe une constante c >
0 telle que si Φ 0 − π δ Φ 0 1∗ ≤ c, il existe une unique solution Φ δ au problème
de minimisation de Hartree-Fock discret dans un voisinage de π δ Φ 0 . En outre,
cette solution vérifie
δ − Φ 0 1∗ ≤ cΦ 0 − π δ Φ 0 1∗ .
On a donc démontré l’existence d’une unique solution locale et en même temps
la propriété de convergence optimale pour cette méthode d’approximation.
7.6 Analyse a posteriori
Les résultats de la section précédente permettent donc de se convaincre de
l’optimalité de l’approximation offerte par cette technique de minimisation
de E
HF sur un espace de dimension finie : il n’est pas nécessaire a priori de
chercher une autre définition de l’approximation Φ δ de Φ 0 puisque celle dont
nous disposons est optimale. Néanmoins, le résultat du théorème 7.7 est inutile
pour un calcul donné si l’on cherche à juger de sa pertinence. La question qui
reste en suspens est “avons-nous utilisé une base assez grande ?”, autrement
dit “quelle est l’erreur relative sur le niveau fondamental ?”. Pour répondre
à cette question, on va commencer par montrer, en supposant toujours que
X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 , que a Φ reste elliptique pour tout Φ suffisamment proche de Φ 0 .
Lemme 7.8 Sous l’hypothèse que X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 , il existe une constante α > 0
ne dépendant que de Φ 0 , telle que pour toute matrice U ∈ U(N ) la forme
bilinéaire a U Φ0 = D
2
E
U Φ0 est α-coercive sur Φ
⊥ ⊥
0 .
Preuve. On remarque tout d’abord que (U Φ 0 )
⊥ ⊥ = Φ
⊥ ⊥
0 et que pour tout
Ψ 1 ∈ H ∩ K, Ψ 2 ∈ H, U ∈ U(N ), on a a U Ψ1 (U Ψ 2 , UΨ 2 ) = a Ψ1 (Ψ 2 , Ψ 2 ). La
α-coercivité découle alors du lemme 7.6.
Lemme 7.9 Sous l’hypothèse que X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 , il existe une constante η > 0
ne dépendant que de Φ 0 , telle que pour tout Φ ∈ H ∩ K avec Φ 0 − Φ H ≤ η,
la forme bilinéaire a Φ est coercive sur Φ
⊥ ⊥ avec une constante d’ellipticité ne
dépendant que de Φ 0 .
Preuve. Soit ξ ∈ Φ
⊥ ⊥ de norme ξ H ≤ 1 que l’on écrit ξ = M Φ 0 + ˜
ξ,
avec ˜
ξ ∈ Φ
⊥ ⊥
0 . On note tout d’abord que |M ij | = |(ξ i , Φ 0,j ) L 2 |, et on déduit
facilement que |M ij | ≤ ≤ξ [L 2 (I R 3 )] N Φ 0 − Φ [L 2 (I R 3 )] N . D’où l’on tire,
a Φ (ξ, ξ) = a Φ ( ˜
ξ + MΦ 0 , ˜
ξ + MΦ 0 )
≥ a Φ ( ˜
ξ, ˜
ξ) − cξ H ˜
ξ H Φ 0 − Φ H − cξ
2
H 0 − Φ
2
H .
Par ailleurs, |Λ ij −Λ
0
ij | ≤ cΦ 0 −Φ H . On conclut la preuve grâce à l’inégalité