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7 Choix des bases
et donc que
0 = lim
m→∞
a Φ0 (Ψ
m , Ψ
m ) ≥ lim inf
m→∞
⎛
⎝ 2
N
i=1
I R 3
|∇ψ
m
i |
2 +
N
i,j=1
Λ
0
ij
I R 3
ψ
m
i ψ
m
j
⎞
⎠
≥ c 0 lim inf
m→∞
Ψ
m
H = c 0 > 0,
ce qui met en évidence une contradiction.
Il n’est pas très difficile de montrer que a Φ0 s’annule sur l’ensemble AΦ 0 .
Pour simplifier la suite du raisonnement, on va faire l’hypothèse que a Φ0 ne
s’annule que sur AΦ 0 , et qu’en conséquence X Φ0 = Φ
⊥ ⊥
0 . Sous cette hypothèse,
la forme bilinéaire a Φ0 est alors α-elliptique sur Φ
⊥ ⊥
0 .
Le problème discret de Hartree-Fock consiste à minimiser E
HF (Ψ δ ) sur K ∩
[X δ ]
N . On écrit alors que pour tout Ψ δ ,
E
HF (Ψ δ ) − E
HF (π δ Φ 0 ) = E
Φ0 (Ψ δ ) − E
Φ0 (π δ Φ 0 )
= DE
Φ0 (Ψ δ − Φ 0 ) + DE
Φ0 (Φ 0 − π δ Φ 0 )
+
1
2
D
2
E
Φ0 (Ψ δ − Φ 0 , Ψ δ − Φ 0 )
−
1
2
D
2
E
Φ0 (Φ 0 − π δ Φ 0 , Φ 0 − π δ Φ 0 )
+O(Ψ δ − Φ 0
3
H + Φ 0 − π δ Φ 0
3
H ).
On rappelle tout d’abord que DE
Φ0 est nul, et que
E
HF (Ψ δ ) = E
HF (U Ψ δ ,π δ Φ0 Ψ δ ) ;
on rappelle aussi que
U Ψ δ ,π δ Φ0 Ψ δ = S(π δ Φ 0 ) + W,
avec W ∈ π δ Φ
⊥ ⊥
0 ∩ [X δ ]
N = Φ
⊥ ⊥
0 ∩ [X δ ]
N
et W H δ − π δ Φ 0 1,∗ .
Ceci nous permet d’écrire
E
HF (Ψ δ ) − E
HF (π δ Φ 0 ) =
1
2
D
2
E
Φ0 (W − Φ 0 − π δ Φ 0 , W − Φ 0 − π δ Φ 0 )
−
1
2
D
2
E
Φ0 (Φ 0 − π δ Φ 0 , Φ 0 − π δ Φ 0 )
+O(W
3
H + Φ 0 − π δ Φ 0
3
H ).
La minimisation en Ψ δ se ramène donc, au voisinage de π δ Φ 0 , à un problème de minimisation en W . La forme D
2
E
Φ0 étant α-elliptique sur Φ
⊥ ⊥
0 , ce
problème admet une solution et une seule dans [X δ ]
N
∩ Φ
⊥ ⊥
0 , qui vérifie
H ≤ c(α)Φ 0 − π δ Φ 0 1∗ .
La solution associée au problème de minimisation Φ δ = argmin X δ ∩K E
HF (Ψ δ )
est reconstruite en suivant (7.32). Finalement,