7.5 Analyse numérique a priori
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Preuve. On choisit de faire une démonstration par l’absurde : on suppose
qu’il existe une suite {Ψ
m
} m≥1 de X Φ0 de norme Ψ
m
H = 1 telle que
lim m→1 a Φ0 (Ψ
m , Ψ
m ) = 0. On écrit tout d’abord de façon explicite la forme
a Φ0 . Pour cela, on introduit les notations τ Ψ 1 ,Ψ 2 (x, y) =
N
i=1
ψ
1
i (x)ψ
2
i (y),
ρ Ψ 1 ,Ψ 2 (x) = ρ Ψ 1 ,Ψ 2 (x, x), et ρ Ψ (x) = ρ Ψ,Ψ (x) ; on a ainsi
a Φ0 (Ψ, Ψ) = 2
N
i=1
I R 3
|∇Ψ i |
2 + V Ψ
2
i
+
1
2
I R 3 ×I R 3
8ρ Φ0,Ψ (x)ρ Φ0,Ψ (y) + 4ρ Ψ (x)ρ Φ0 (x)
|x − y|
dx dy
−
1
2
I R 3 ×I R 3
4τ Φ0 (x, y)τ Ψ (x, y)
|x − y|
dx dy
−
1
2
I R 3 ×I R 3
4τ Φ0,Ψ (x, y)
τ Φ0,Ψ (x, y) + ρ Φ0,Ψ (y, x)
|x − y|
dx dy
+
N
i,j=1
Λ
0
ij
I R 3
Ψ i Ψ j .
De la suite {Ψ
m
} m≥1 , bornée dans H, on peut extraire une sous-suite qui
converge faiblement dans H vers un certain Ψ ∈ X Φ0 . On remarque que
les deux premiers termes de a ainsi que la partie en Λ (qui est positif) sont
clairement semi-continus inférieurement. C’est un peu plus technique mais on
peut également montrer que les trois autres termes sont aussi semi-continus
inférieurement pour la topologie de H (cf. [163]). On en déduit que
a Φ0 (Ψ, Ψ) ≤ lim
m→∞
a Φ0 (Ψ
m , Ψ
m ) = 0,
ce qui montre que Ψ = 0, d’après la définition de X Φ0 . En utilisant cette
information, on montre maintenant que
N
i=1
I R 3
V |Ψ
m
i |
2
−→
m→+∞
0
I R 3 ×I R 3
8ρ Φ0,Ψ m (x)ρ Φ0,Ψ m (y) + 4ρ Ψ m (x)ρ Φ0 (x)
|x − y|
dx dy −→
m→+∞
0
I R 3 ×I R 3
4τ Φ0 (x, y)τ Ψ m (x, y)
|x − y|
dx dy −→
m→+∞
0
I R 3 ×I R 3
4τ Φ0,Ψ m (x, y)
τ Φ0,Ψ m (x, y) + ρ Φ0,Ψ m (y, x)
|x − y|
dx dy −→
m→+∞
0