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7 Choix des bases
SΦ H ≤ CΨ − Φ
2
[L 2 (I R 3 )] N Φ H
≤ C 2 Ψ − Φ
2
H H
On termine la présentation de ces résultats préliminaires en énonçant sans
démonstration le
Lemme 7.5 Pour tout Φ ∈ H ∩ K, l’espace tangent en Φ à H ∩ K est A Φ ⊕
Φ
⊥ ⊥ .
7.5.2 Analyse numérique du problème discret
Soit π δ (Φ 0 ) la meilleure approximation de la solution Φ 0 dans X δ , par exemple
pour la norme L
2 (IR
3 ). La première question qu’on peut se poser est de savoir
si, dans un voisinage de π δ (Φ 0 ), il existe une solution au problème discret
(6.7). La seconde est de savoir si l’erreur entre la solution exacte et une telle
solution approchée est du même ordre de grandeur que Φ 0 − π δ (Φ 0 ).
On note tout d’abord que pour tout Φ ∈ K et tout W ∈ Φ
⊥ ⊥ suffisamment
petit, il existe une matrice N × N diagonale T telle que
Φ + T Φ + W ∈ K.
(7.32)
Par ailleurs, on remarque que d’après (7.30), on peut choisir T de sorte que
Φ [L 2 (I R 3 )] N ≤ CW
2
[L 2 (I R 3 )] N .
(7.33)
Ensuite, pour tout Φ ∈ H ∩ K, on introduit
E
Φ (.) = E
HF (.) +
N
i,j=1
Λ ij F ij (.)
(7.34)
où Λ ij = (F Φ Φ i , Φ j ) L 2 , et où F Φ désigne l’opérateur de Fock. Comme Φ 0 est
une solution des équations de Hartree-Fock on a
DE
Φ0 = 0 ;
comme Φ 0 est en outre un minimiseur de l’énergie de Hartree-Fock, la forme
a Φ0 = D
2
E
Φ0 est positive. On peut même prouver mieux :
Lemme 7.6 Soit X Φ0 le sous-espace orthogonal (dans H) aux éléments de
A Φ0 ⊕ Φ
⊥ ⊥
0 sur lesquels a Φ0 s’annule. Alors pour tout Ψ ∈ X Φ0 non nul,
a Φ0 (Ψ, Ψ) > 0
et il existe une constante α > 0 telle que a Φ0 soit α-elliptique sur X Φ0 .