7.5 Analyse numérique a priori
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la quatrième égalité étant due au fait que Φ ∈ K. On remarque maintenant
que pour toute matrice antisymétrique
A, l’application t → e
At U Ψ,Φ est un
chemin à valeurs dans U(N ) dont la tangente en t = 0 est
AU Ψ,Φ . La condition
de minimalité pour (7.29) est
0 =
(I N + A + S) − U
T
Ψ,Φ , U
T
Ψ,Φ
A
T
M(N,N )
=
U Ψ,Φ (I N + A + S) − I N ,
A
T
M(N,N )
, ∀
A antisymétrique.
On en déduit que U Ψ,Φ (I N + A + S) est une matrice symétrique et donc
U Ψ,Φ Ψ = U Ψ,Φ
(I N + A + S)Φ + W
∈ S Φ ⊕ Φ
⊥ ⊥ . Ce lemme signifie que, par
une rotation appropriée, la partie antisymétrique de (7.26) peut être enlevée.
Quant à la partie symétrique, le lemme suivant montre qu’elle est d’un ordre
supérieur :
Lemme 7.4 Pour tous Ψ et Φ dans H ∩ K, il existe deux constantes C 1 et
C 2 ne dépendant que de N telles que
[L 2 (I R 3 )] N ≤ C 1 Ψ − Φ
2
[L 2 (I R 3 )] N ;
(7.30)
H ≤ C 2 Ψ − Φ
2
H H
(7.31)
S désignant la matrice symétrique intervenant dans la décomposition (7.28)
de Ψ − Φ.
Preuve. De l’égalité (7.28), on tire que
− Φ
2
L 2 (I R 3 )) N =
N
i,j=1
(A ij + S ij )
2 + W
2
[L 2 (I R 3 )] N .
Par ailleurs, l’appartenance de Ψ à K montre que pour tout i
1 = (1 + S ii )
2 +
j =i
(S ij + A ij )
2 + W i
2
L 2 (I R 3 )) N
d’ou l’on tire, en utilisant le fait que A ii = 0, l’inégalité
S ii = −
N
j=1 (S ij + A ij )
2 + W i
2
L 2 (I R 3 )) N
2
≤ ≤Ψ − Φ
2
L 2 (I R 3 )) N .
De façon similaire, on a pour i = j
0 =
N
k=1
(I N + S + A) ik (I N + S + A) jk + (W i , W j ) [L 2 (I R 3 )] N ,
et en conséquence |S ij | ≤ CΨ − Φ
2
[L 2 (I R 3 )] N . On en déduit ensuite que