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7 Choix des bases
Comme dans [163], on introduit la notion suivante : si les éléments de H sont
écrits comme vecteurs colonnes, on peut décomposer H en la somme directe
orthogonale
H = M Φ ⊕ Φ
⊥ ⊥
(7.25)
où
M Φ = {M Φ, M ∈ M(N, N )},
et
Φ
⊥ ⊥ =
Ψ = (ψ i )
N
i=1 ∈ H, (ψ i , φ j ) L 2 = 0, 1 ≤ i, j ≤ N
.
Pour Ψ = (ψ i )
N
i=1 ∈ H, il suffit en effet d’introduire la matrice M d’élément
courant M ij = (ψ i , φ j ) L 2 , on a alors Ψ − M Φ ∈ Φ
⊥ ⊥ . Plus précisément,
en introduisant l’ensemble des matrices symétriques et antisymétriques, la
décomposition
A Φ = {AΦ, A ∈ M(N, N ), A
T = −A},
S Φ = {SΦ, S ∈ M(N, N ), S
T = S},
on a, après avoir décomposé M en sa partie symétrique et antisymétrique
H = A Φ ⊕ S Φ ⊕ Φ
⊥ ⊥
Appliqué à Ψ − Φ, avec Φ et Ψ dans H ∩ K, on a ainsi
Ψ = Φ + AΦ + SΦ + W, W ∈ Φ
⊥ ⊥
(7.26)
Dans la suite, pour tous Ψ et Φ dans [L
2 (IR
3 )]
N on note Ψ ⊥ ⊥ Φ si, pour tout
1 ≤ i, j ≤ N , i = j, on a (ψ i , φ j ) L 2 = 0. Le résultat suivant (cf. [163]) donne
une caractérisation de la matrice U Ψ,Φ définie par (7.23).
Lemme 7.3 Pour tous Ψ et Φ dans H ∩ K, la matrice U Ψ,Φ solution de
(7.23) vérifie
U Ψ,Φ Ψ − Φ ∈ S Φ ⊕ Φ
⊥ ⊥ .
(7.27)
Preuve. On considère la décomposition
Ψ − Φ = AΦ + SΦ + W, W ∈ Φ
⊥ ⊥
(7.28)
En utilisant l’orthogonalité de W avec Φ, on obtient
U Ψ,Φ = argmin{{U Ψ − Φ
2
[L 2 (I R 3 )] N ; U ∈ U(N )}
= argmin{{U (Φ + AΦ + SΦ + W ) − Φ
2
[L 2 (I R 2 )] N ; U ∈ U(N )}
= argmin{{U (Φ + AΦ + SΦ) − Φ
2
[L 2 (I R) 2 ] N ; U ∈ U(N )}
= argmin{{U (I N + A + S) − I N
2
M(N,N ) ; U ∈ U(N )}
= argmin{{(I N + A + S) − U
T
2
M(N,N ) ; U ∈ U(N )}
(7.29)