7.5 Analyse numérique a priori
191
0
-6.5
-3.5
-0.5
-5
-2
1
5
1 0
1 5
2 0
N (dimension of the vector space)
25
Decay of the n-width
The log10 of the n-width, 3-21 G basis
Log10 of the n-width
The log10 of the n-width, 6-31+ G basis
30
40
35
45
Fig. 7.3. Epaisseur de l’ensemble des matrices densité du fondamental HartreeFock de la molécule de fluoroéthène pour diverses configurations des noyaux. Les
deux courbes correspondent à deux discrétisations, l’une grossière conduisant à un
plateau (10
−5 ), l’autre fine, plus représentative de la réalité.
et
K =
(Φ 1 , · · · , Φ N ) ∈
L
2 (IR
3 )
N , (Φ i , Φ j ) L 2 = δ ij
.
On note que K peut être vu comme l’intersection de tous les noyaux des F ij
définis par
∀Φ = [Φ i ]
N
i=1 , F ij (Φ) = (Φ i , Φ j ) L 2 − δ ij
(7.22)
A ce problème de minimisation est associé le problème de points critiques
(5.29). On sait bien que si Φ 0 est une solution du problème de minimisation,
alors U Φ 0 est une autre solution pour toute matrice U orthogonale de rang
N .
7.5.1 Quelques résultats préparatoires
On est donc loin d’avoir l’unicité de la solution à ce problème, ce qui est pourtant la pierre angulaire de l’analyse numérique de méthodes de discrétisation.
L’idée est donc de passer au quotient de ces rotations ; ainsi, pour tout couple
(Ψ, Φ) d’éléments de H, on introduit la rotation
U Ψ,Φ = argmin
Ψ − Φ [L 2 (I R 3 )] N , U ∈ U(N )
(7.23)
où U(N ) représente l’ensemble des matrices orthogonales de rang N . Ceci
conduit ensuite aux normes quotient suivantes
− Φ 0,∗ = U Ψ,Φ Ψ − Φ [L 2 (I R 3 )] N ; Ψ − Φ 1,∗ = U Ψ,Φ Ψ − Φ [H 1 (I R 3 )] N .
(7.24)
191
0
-6.5
-3.5
-0.5
-5
-2
1
5
1 0
1 5
2 0
N (dimension of the vector space)
25
Decay of the n-width
The log10 of the n-width, 3-21 G basis
Log10 of the n-width
The log10 of the n-width, 6-31+ G basis
30
40
35
45
Fig. 7.3. Epaisseur de l’ensemble des matrices densité du fondamental HartreeFock de la molécule de fluoroéthène pour diverses configurations des noyaux. Les
deux courbes correspondent à deux discrétisations, l’une grossière conduisant à un
plateau (10
−5 ), l’autre fine, plus représentative de la réalité.
et
K =
(Φ 1 , · · · , Φ N ) ∈
L
2 (IR
3 )
N , (Φ i , Φ j ) L 2 = δ ij
.
On note que K peut être vu comme l’intersection de tous les noyaux des F ij
définis par
∀Φ = [Φ i ]
N
i=1 , F ij (Φ) = (Φ i , Φ j ) L 2 − δ ij
(7.22)
A ce problème de minimisation est associé le problème de points critiques
(5.29). On sait bien que si Φ 0 est une solution du problème de minimisation,
alors U Φ 0 est une autre solution pour toute matrice U orthogonale de rang
N .
7.5.1 Quelques résultats préparatoires
On est donc loin d’avoir l’unicité de la solution à ce problème, ce qui est pourtant la pierre angulaire de l’analyse numérique de méthodes de discrétisation.
L’idée est donc de passer au quotient de ces rotations ; ainsi, pour tout couple
(Ψ, Φ) d’éléments de H, on introduit la rotation
U Ψ,Φ = argmin
Ψ − Φ [L 2 (I R 3 )] N , U ∈ U(N )
(7.23)
où U(N ) représente l’ensemble des matrices orthogonales de rang N . Ceci
conduit ensuite aux normes quotient suivantes
− Φ 0,∗ = U Ψ,Φ Ψ − Φ [L 2 (I R 3 )] N ; Ψ − Φ 1,∗ = U Ψ,Φ Ψ − Φ [H 1 (I R 3 )] N .
(7.24)