7.4 Retour aux bases réduites
189
quel est le meilleur choix. La démarche mérite tout de même d’être présentée puisqu’elle fait appel à la notion d’approximation non linéaire qui est un
outil non classique mais d’un grand intérêt à la fois en analyse et en analyse
numérique. Partant de (7.17), on déduit que f (t) = e
−
√
t est une fonction
complètement monotone (i.e. (−1)
n f
(n) (t) ≥ 0 pour tout n ∈ IN et tout
t ∈ IR + ). Pour de telles fonctions, on sait [46] que, pour tout ensemble de
points 0 < x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x 2N b , il existe une unique somme positive d’exponentielles u N b (t) =
N b
k=1 α k e
−β k t avec α k et β k réels positifs à déterminer de
sorte que u(x k ) = f (x k ) pour tout k. L’idée de la démonstration est de partir
du résultat suivant [224] :
Lemme 7.2 Soit n ≥ 1 et α > 0, il existe un polynôme p de degré ≤ n avec
n zéros dans [0, 1] tel que
|x
α p(x)
p(−x)
| ≤ c 0 (α)e
−π
√
αn , pour 0 ≤ x ≤ 1
(7.21)
que l’on utilise avec n = 2N b . On choisit alors les zéros 0 < x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤
x 2N b de q(t) = p(t/b) où b est un réel positif représentant la borne supérieure
de l’intervalle [0, b] sur lequel on souhaite interpoler f . La monotonie de f et
la positivité de la somme d’exponentielle interpolante montrent tout d’abord
que f − u ne s’annule pas plus de 2N b fois. Le comportement à l’infini montre
alors que u(t) ≤ f (t) pour t > x 2N b et donc aussi pour t ≤ x 1 . Pour tout z
complexe de partie réelle Re(z) ≥ 0, on obtient |f (z)| = f (Re(z)) ≤ f (0) et
|u(z)| = u(Re(z)) ≤ u(0) ≤ f (0), de sorte que |f (z) − u(z)| ≤ |f (z)| + |u(z)| ≤
f (0) + u(0) ≤ 2f (0). On remarque aussi que |p(−z)/p(z)| = 1 si Re(z) = 0
et que p(−z)/p(z) tend vers 1 lorsque |z| tend vers l’infini. L’analyticité de la
fonction
g(z) :=
p(z)
p(−z)
[f (z) − u(z)]
permet alors de montrer que |g(z)| ≤ 2f (0) pour tout z complexe de partie
réelle Re(z) ≥ 0, ce qui fait que du lemme 7.2 il découle
t
α
|f (t) − u(t)| ≤ 2b
3/2 f (0)c 0 (α)e
π
√
3N b , pour tout t ∈ [0, b]
Ceci étant vrai pour toute valeur α > 0, on en déduit la convergence exponentielle de la somme u(r
2 ) vers la première fonction propre hydrogénoïde dans
toutes les normes appropriées.
7.4 Retour aux bases réduites
On reporte dans cette section quelques éléments qui permettent de comprendre que la convergence des calculs effectués actuellement par les chimistes
189
quel est le meilleur choix. La démarche mérite tout de même d’être présentée puisqu’elle fait appel à la notion d’approximation non linéaire qui est un
outil non classique mais d’un grand intérêt à la fois en analyse et en analyse
numérique. Partant de (7.17), on déduit que f (t) = e
−
√
t est une fonction
complètement monotone (i.e. (−1)
n f
(n) (t) ≥ 0 pour tout n ∈ IN et tout
t ∈ IR + ). Pour de telles fonctions, on sait [46] que, pour tout ensemble de
points 0 < x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x 2N b , il existe une unique somme positive d’exponentielles u N b (t) =
N b
k=1 α k e
−β k t avec α k et β k réels positifs à déterminer de
sorte que u(x k ) = f (x k ) pour tout k. L’idée de la démonstration est de partir
du résultat suivant [224] :
Lemme 7.2 Soit n ≥ 1 et α > 0, il existe un polynôme p de degré ≤ n avec
n zéros dans [0, 1] tel que
|x
α p(x)
p(−x)
| ≤ c 0 (α)e
−π
√
αn , pour 0 ≤ x ≤ 1
(7.21)
que l’on utilise avec n = 2N b . On choisit alors les zéros 0 < x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤
x 2N b de q(t) = p(t/b) où b est un réel positif représentant la borne supérieure
de l’intervalle [0, b] sur lequel on souhaite interpoler f . La monotonie de f et
la positivité de la somme d’exponentielle interpolante montrent tout d’abord
que f − u ne s’annule pas plus de 2N b fois. Le comportement à l’infini montre
alors que u(t) ≤ f (t) pour t > x 2N b et donc aussi pour t ≤ x 1 . Pour tout z
complexe de partie réelle Re(z) ≥ 0, on obtient |f (z)| = f (Re(z)) ≤ f (0) et
|u(z)| = u(Re(z)) ≤ u(0) ≤ f (0), de sorte que |f (z) − u(z)| ≤ |f (z)| + |u(z)| ≤
f (0) + u(0) ≤ 2f (0). On remarque aussi que |p(−z)/p(z)| = 1 si Re(z) = 0
et que p(−z)/p(z) tend vers 1 lorsque |z| tend vers l’infini. L’analyticité de la
fonction
g(z) :=
p(z)
p(−z)
[f (z) − u(z)]
permet alors de montrer que |g(z)| ≤ 2f (0) pour tout z complexe de partie
réelle Re(z) ≥ 0, ce qui fait que du lemme 7.2 il découle
t
α
|f (t) − u(t)| ≤ 2b
3/2 f (0)c 0 (α)e
π
√
3N b , pour tout t ∈ [0, b]
Ceci étant vrai pour toute valeur α > 0, on en déduit la convergence exponentielle de la somme u(r
2 ) vers la première fonction propre hydrogénoïde dans
toutes les normes appropriées.
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On reporte dans cette section quelques éléments qui permettent de comprendre que la convergence des calculs effectués actuellement par les chimistes