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1 Présentation succincte des modèles
dans le potentiel moyen W . La position d’équilibre la plus stable du système
est donc obtenue comme dans tout problème de mécanique classique en minimisant l’énergie potentielle W . Celle-ci comprend deux termes :
1. le terme
1≤k
|¯ x k − ¯
x l |
qui décrit la répulsion internucléaire (forces
de Coulomb) ;
2. le terme U (¯ x 1 , · · · , ¯
x M ) qui correspond au potentiel effectif ressenti par les
noyaux dû à la présence du nuage électronique. La valeur de ce potentiel
en un point (¯ x 1 , · · · , ¯
x M ) ∈ IR
3M est obtenu en cherchant le fondamental de l’hamiltonien électronique H
{¯ x k }
e
sur l’espace des fonctions d’onde
admissibles (antisymétriques de par le principe de Pauli et normalisées
puisque le module au carré d’une fonction d’onde s’interprète comme une
densité de probabilité). Rappelons
– que le premier terme de H
{¯ x k }
e
correspond à l’énergie cinétique des
électrons (∆ xi désigne le laplacien par rapport à la variable x i ∈ IR
3 ), le
deuxième à l’interaction coulombienne noyaux-électrons et le troisième
à la répulsion coulombienne interélectronique,
– et que la notation
N
i=1
H
1 (IR
3 )
désigne l’espace vectoriel des fonctions de
N
i=1
H
1 (IR
3 )
totalement antisymétriques vis-à-vis de l’échange des coordonnées de
deux électrons quelconques. Les éléments de H e sont autrement dit les
fonctions d’onde ψ : (IR
3 )
N
−→ IR qui vérifient
I R 3N
|ψ(x 1 , x 2 , · · · , x N )|
2 + |∇ψ(x 1 , x 2 , · · · , x N )|
2
dx 1 · · · dx N < +∞
et
ψ(x p(1) , x p(2) , · · · , x p(N ) ) = (p)ψ(x 1 , x 2 , · · · , x N ),
p désignant une permutation quelconque des indices et (p) sa signature.
Remarque 1.1 Le lecteur averti aura remarqué que nous semblons
avoir “oublié” les variables de spin. La raison de cette “omission” est
que dans la plupart des études mathématiques et en particulier dans les
preuves d’existence, les variables de spin ne jouent aucun rôle sinon
celui d’alourdir le formalisme. Pour simplifier la lecture des expressions
mathématiques, on raisonnera ici sur des modèles “sans spin”. Le lecteur
curieux de faire connaissance avec le concept de spin pourra toutefois
se reporter à l’annexe de mécanique quantique ainsi qu’à la section 1.6
1 Présentation succincte des modèles
dans le potentiel moyen W . La position d’équilibre la plus stable du système
est donc obtenue comme dans tout problème de mécanique classique en minimisant l’énergie potentielle W . Celle-ci comprend deux termes :
1. le terme
1≤k
|¯ x k − ¯
x l |
qui décrit la répulsion internucléaire (forces
de Coulomb) ;
2. le terme U (¯ x 1 , · · · , ¯
x M ) qui correspond au potentiel effectif ressenti par les
noyaux dû à la présence du nuage électronique. La valeur de ce potentiel
en un point (¯ x 1 , · · · , ¯
x M ) ∈ IR
3M est obtenu en cherchant le fondamental de l’hamiltonien électronique H
{¯ x k }
e
sur l’espace des fonctions d’onde
admissibles (antisymétriques de par le principe de Pauli et normalisées
puisque le module au carré d’une fonction d’onde s’interprète comme une
densité de probabilité). Rappelons
– que le premier terme de H
{¯ x k }
e
correspond à l’énergie cinétique des
électrons (∆ xi désigne le laplacien par rapport à la variable x i ∈ IR
3 ), le
deuxième à l’interaction coulombienne noyaux-électrons et le troisième
à la répulsion coulombienne interélectronique,
– et que la notation
N
i=1
H
1 (IR
3 )
désigne l’espace vectoriel des fonctions de
N
i=1
H
1 (IR
3 )
totalement antisymétriques vis-à-vis de l’échange des coordonnées de
deux électrons quelconques. Les éléments de H e sont autrement dit les
fonctions d’onde ψ : (IR
3 )
N
−→ IR qui vérifient
I R 3N
|ψ(x 1 , x 2 , · · · , x N )|
2 + |∇ψ(x 1 , x 2 , · · · , x N )|
2
dx 1 · · · dx N < +∞
et
ψ(x p(1) , x p(2) , · · · , x p(N ) ) = (p)ψ(x 1 , x 2 , · · · , x N ),
p désignant une permutation quelconque des indices et (p) sa signature.
Remarque 1.1 Le lecteur averti aura remarqué que nous semblons
avoir “oublié” les variables de spin. La raison de cette “omission” est
que dans la plupart des études mathématiques et en particulier dans les
preuves d’existence, les variables de spin ne jouent aucun rôle sinon
celui d’alourdir le formalisme. Pour simplifier la lecture des expressions
mathématiques, on raisonnera ici sur des modèles “sans spin”. Le lecteur
curieux de faire connaissance avec le concept de spin pourra toutefois
se reporter à l’annexe de mécanique quantique ainsi qu’à la section 1.6