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7 Choix des bases
les polynômes de Lagrange [26] vérifiant i (ω j ) = δ ij et on approche donc
ψ(ω, .) par
N
i=1 ψ n (ω i , .) i (ω). On utilise alors la majoration
n (ω, x) −
N
i=1
ψ n (ω i , x) i (ω) L ∞ (ω,x) ≤ sup
x∈I R
1
M !
|D
M
1 ψ n (ω, x)| ˜
∆
M
où ˜
∆ désigne la distance maximale entre deux points ω j :
˜
∆ = max
ω∈[a,b]
inf
i
|ω − ω i |
et M un entier quelconque compris entre 1 et N . Une estimation facile permet
de voir que ˜
∆ dépend principalement du nombre de points choisis dans [a, b]
ainsi que de leur répartition, et est de l’ordre de
c
N . Par ailleurs, pour M fixé,
la quantité sup x∈I R
1
M ! |D
M
1 ψ n (ω, x)| dépend de M et de n ce qui permet de
montrer par exemple que
n (ω, x) −
N
i=1
ψ n (ω i , x) i (ω) L ∞ (ω,x) ≤ C(M ; n) ˜
∆
M .
On peut bien sûr, et il le faut pour les besoins de l’analyse, remplacer la norme
L
∞ en x par une norme de Sobolev H
1 . On peut enfin jouer sur la position
des points d’interpolation, et il convient là de travailler dans ce qui semble
être la “meilleure variable” pour exprimer les solutions. En effet, approcher la
solution ψ(ω, ·) par une expression polynomiale en ω,
√
ω, ω
2 ou encore ln ω
peut donner de meilleures estimations sur le procédé d’interpolation (voir [161]
pour plus de détails sur ce point). Bien que très grossières, ces estimations
permettent de saisir la philosophie des approximations en bases réduites et de
comprendre qu’effectivement, il peut être intéressant d’utiliser comme base de
l’espace discret, des solutions particulières d’une classe de problèmes du type
que l’on cherche à résoudre. On peut même, sur cet exemple, aller plus loin.
En effet, si on approche bien ψ n (ω, ·), la majoration montre que l’on doit bien
approcher aussi les ψ m (ω, ·) pour m n par des combinaisons linéaires des
ψ m (ω i , ·). On remarque même que la même combinaison linéaire donne une
approximation très précise pour tous les ψ n (ω, ·), 1 ≤ n ≤ p. Ainsi si l’on note
Ψ (ω) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
ψ 1 (ω, ·)
ψ 2 (ω, ·)
.
.
ψ p (ω, ·)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, il existe une combinaison linéaire (α i ≡ i (ω))
N
i=1 telle
que Ψ (ω) soit bien approché par
N
i=1 α i Ψ (ω i ).
7.3 Convergence des développements en gaussiennes
Suite à l’article de Boys [45], les bases de gaussiennes-polynômes sont devenues
d’emploi courant pour les approximations variationnelles de la solution des
7 Choix des bases
les polynômes de Lagrange [26] vérifiant i (ω j ) = δ ij et on approche donc
ψ(ω, .) par
N
i=1 ψ n (ω i , .) i (ω). On utilise alors la majoration
n (ω, x) −
N
i=1
ψ n (ω i , x) i (ω) L ∞ (ω,x) ≤ sup
x∈I R
1
M !
|D
M
1 ψ n (ω, x)| ˜
∆
M
où ˜
∆ désigne la distance maximale entre deux points ω j :
˜
∆ = max
ω∈[a,b]
inf
i
|ω − ω i |
et M un entier quelconque compris entre 1 et N . Une estimation facile permet
de voir que ˜
∆ dépend principalement du nombre de points choisis dans [a, b]
ainsi que de leur répartition, et est de l’ordre de
c
N . Par ailleurs, pour M fixé,
la quantité sup x∈I R
1
M ! |D
M
1 ψ n (ω, x)| dépend de M et de n ce qui permet de
montrer par exemple que
n (ω, x) −
N
i=1
ψ n (ω i , x) i (ω) L ∞ (ω,x) ≤ C(M ; n) ˜
∆
M .
On peut bien sûr, et il le faut pour les besoins de l’analyse, remplacer la norme
L
∞ en x par une norme de Sobolev H
1 . On peut enfin jouer sur la position
des points d’interpolation, et il convient là de travailler dans ce qui semble
être la “meilleure variable” pour exprimer les solutions. En effet, approcher la
solution ψ(ω, ·) par une expression polynomiale en ω,
√
ω, ω
2 ou encore ln ω
peut donner de meilleures estimations sur le procédé d’interpolation (voir [161]
pour plus de détails sur ce point). Bien que très grossières, ces estimations
permettent de saisir la philosophie des approximations en bases réduites et de
comprendre qu’effectivement, il peut être intéressant d’utiliser comme base de
l’espace discret, des solutions particulières d’une classe de problèmes du type
que l’on cherche à résoudre. On peut même, sur cet exemple, aller plus loin.
En effet, si on approche bien ψ n (ω, ·), la majoration montre que l’on doit bien
approcher aussi les ψ m (ω, ·) pour m n par des combinaisons linéaires des
ψ m (ω i , ·). On remarque même que la même combinaison linéaire donne une
approximation très précise pour tous les ψ n (ω, ·), 1 ≤ n ≤ p. Ainsi si l’on note
Ψ (ω) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
ψ 1 (ω, ·)
ψ 2 (ω, ·)
.
.
ψ p (ω, ·)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, il existe une combinaison linéaire (α i ≡ i (ω))
N
i=1 telle
que Ψ (ω) soit bien approché par
N
i=1 α i Ψ (ω i ).
7.3 Convergence des développements en gaussiennes
Suite à l’article de Boys [45], les bases de gaussiennes-polynômes sont devenues
d’emploi courant pour les approximations variationnelles de la solution des