7.2 Un modèle un peu plus quantique
185
En utilisant les fonctions propres des sous-domaines, on prend en compte
convenablement les singularités de u i aux sommets (S j ) j=0,...,5 alors qu’une
discrétisation classique par éléments finis par exemple, n’aurait pas pu le faire,
ou du moins pas facilement (maillages adaptatifs). Ceci justifie le très faible
nombre de degrés de liberté requis pour ce type d’approximation. Réciproquement, ce choix de base n’est bien adapté que pour des fonctions χ, qui,
multipliées par les partitions de l’unité χ
k , sont dans le domaine des puissances itérées du laplacien dans H
1
0 . Ceci n’est bien sûr pas a priori le cas
pour les solutions d’une EDP générique.
7.2 Un modèle un peu plus quantique
On va prendre l’exemple de l’oscillateur harmonique dont la modélisation est
introduite dans l’annexe A. Ce problème correspond à l’hamiltonien
H = −
1
2
d
2
dx 2 +
1
2
ω
2 x
2
(7.14)
où la pulsation ω est un réel dans l’intervalle [a, b] et dont on connaît le spectre
analytiquement. Rappelons en effet
– que les valeurs propres sont
E n (ω) = (n + 1/2)ω, n ∈ IN
(7.15)
– et que les vecteurs propres correspondants sont
ψ n (ω, x) = e
−ωx
2 /2 H n (
√
ω x).
(7.16)
Supposons
1 que l’on veuille utiliser une méthode de base réduite pour
approcher la solution générique de ce problème. On choisit donc N valeurs
du paramètre (ω 1 , ω 2 , . . . , ω N ) et on cherche à approcher la solution générique ψ n (ω, x), pour n donné, comme combinaison linéaire des ψ n (ω j , x),
j = 1, .., N . On note encore X N l’espace vectoriel engendré par ces vecteurs
propres (en fait c’est un X
n
N ). On va utiliser une méthode variationnelle pour
approcher la solution pour une valeur donnée du paramètre ω. L’appoximation
variationnelle, comme dans le cas précédent, donne une solution approchée
dans l’espace discret qui est asymptotiquement aussi proche de la solution de
ψ(ω, .) que la meilleure approximation dans X N . Pour analyser l’erreur de
meilleure approximation, on peut, au vu de la régularité des ψ n , en tant que
fonction de ω penser à interpoler aux points ω j . On introduit donc pour cela
1 juste pour voir comment ça marche car l’approximation des valeurs propres et
des vecteurs propres est une recherche sans beaucoup de sens quand on connaît
comme ici les expressions analytiques
185
En utilisant les fonctions propres des sous-domaines, on prend en compte
convenablement les singularités de u i aux sommets (S j ) j=0,...,5 alors qu’une
discrétisation classique par éléments finis par exemple, n’aurait pas pu le faire,
ou du moins pas facilement (maillages adaptatifs). Ceci justifie le très faible
nombre de degrés de liberté requis pour ce type d’approximation. Réciproquement, ce choix de base n’est bien adapté que pour des fonctions χ, qui,
multipliées par les partitions de l’unité χ
k , sont dans le domaine des puissances itérées du laplacien dans H
1
0 . Ceci n’est bien sûr pas a priori le cas
pour les solutions d’une EDP générique.
7.2 Un modèle un peu plus quantique
On va prendre l’exemple de l’oscillateur harmonique dont la modélisation est
introduite dans l’annexe A. Ce problème correspond à l’hamiltonien
H = −
1
2
d
2
dx 2 +
1
2
ω
2 x
2
(7.14)
où la pulsation ω est un réel dans l’intervalle [a, b] et dont on connaît le spectre
analytiquement. Rappelons en effet
– que les valeurs propres sont
E n (ω) = (n + 1/2)ω, n ∈ IN
(7.15)
– et que les vecteurs propres correspondants sont
ψ n (ω, x) = e
−ωx
2 /2 H n (
√
ω x).
(7.16)
Supposons
1 que l’on veuille utiliser une méthode de base réduite pour
approcher la solution générique de ce problème. On choisit donc N valeurs
du paramètre (ω 1 , ω 2 , . . . , ω N ) et on cherche à approcher la solution générique ψ n (ω, x), pour n donné, comme combinaison linéaire des ψ n (ω j , x),
j = 1, .., N . On note encore X N l’espace vectoriel engendré par ces vecteurs
propres (en fait c’est un X
n
N ). On va utiliser une méthode variationnelle pour
approcher la solution pour une valeur donnée du paramètre ω. L’appoximation
variationnelle, comme dans le cas précédent, donne une solution approchée
dans l’espace discret qui est asymptotiquement aussi proche de la solution de
ψ(ω, .) que la meilleure approximation dans X N . Pour analyser l’erreur de
meilleure approximation, on peut, au vu de la régularité des ψ n , en tant que
fonction de ω penser à interpoler aux points ω j . On introduit donc pour cela
1 juste pour voir comment ça marche car l’approximation des valeurs propres et
des vecteurs propres est une recherche sans beaucoup de sens quand on connaît
comme ici les expressions analytiques