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7 Choix des bases
est ϕ = u i χ
k et l’on peut craindre que les singularités de u i aux sommets
de Ω, communs à Ω
k n’entraînent que la puissance p dans l’estimation de
l’erreur soit majorée par une petite constante. Il n’en est rien comme on peut
s’en convaincre facilement pour p = 1 par l’analyse qui suit. Commençons par
écrire
∆
u i χ
k
= (∆u i )χ
k + u i
∆χ
k
+ 2∇u i · ∇χ
k ,
et analysons chaque terme du membre de droite. On voit tout d’abord que
∆u i = −λ i u i et donc que (∆u i )χ
k = −λ i u i χ
k
∈ H
1
0 (Ω
k ) ; il est clair par
ailleurs que (∆χ
k )u i ∈ H
1
0 (Ω
k ) d’après la régularité de χ
k . Enfin, les seules
singularités de u i sont aux sommets de Ω, justement là où χ
k est localement
constant (nul ou égal à 1), le gradient de χ
k y est donc nul et ∇u i ∇χ
k est
ainsi très régulière, et de ce fait, en particulier, un élément de H
1 (Ω
k ). Il
reste à prouver que ∇u i · ∇χ
k est nulle au bord. On se place tout d’abord sur
∂Ω ∩ ∂Ω
k et on y choisit des coordonnées locales ; on note τ et n les vecteurs
tangent et normal à la frontière. On a alors
∇u i · ∇χ
k =
∂u i
∂τ
∂χ
k
∂τ
+
∂u i
∂n
∂χ
k
∂n
et on note que la nullité de u i au bord ∂Ω entraîne que
∂ui
∂τ est nul sur ∂Ω ;
de même,
∂χ
k
∂τ
est nul sur ∂Ω
k
\ ∂Ω puisque χ
k y est nul. Le second terme ci
dessus est aussi nul car
∂χ
k
∂n
a été choisi nul sur tout ∂Ω
k . En fait, on peut
montrer plus généralement que
Lemme 7.1 Pour toute partition {χ
k
} k=1,2,3 régulière et satisfaisant (7.7)
et toute fonction propre u i du problème (7.1), on a, pour tout p ∈ IN et pour
tout k = 1, 2, 3, ∆
p (χ
k u i ) ∈ H
1
0 (Ω
k ). De plus, il existe une constante c, ne
dépendant que de la partition de l’unité χ k et de p, telle que
∀k, ∀i, ∆
p (χ
k u i ) H 1
0 (Ω k ) ≤ c(λ
p
i + 1).
(7.13)
On déduit alors de (7.12) que
inf
v k
n ∈X k
n
i χ
k
− v
k
n H 1
0 (Ω k ) ≤ c
λ i
λ k
n+1
p
,
ce qui est une convergence d’ordre p, pour tout p. En sommant sur k, on
conclut donc qu’il existe une constante c, ne dépendant que de p, telle que
sup
vN ∈XN
u j − v n H 1 (Ω) ≤ c sup
k=1,2,3
λ i
λ k
n+1
p
d’où un ordre de convergence “infini”, puisque, rappelons-le, les λ
k
n tendent
vers l’infini comme n
2/d .
7 Choix des bases
est ϕ = u i χ
k et l’on peut craindre que les singularités de u i aux sommets
de Ω, communs à Ω
k n’entraînent que la puissance p dans l’estimation de
l’erreur soit majorée par une petite constante. Il n’en est rien comme on peut
s’en convaincre facilement pour p = 1 par l’analyse qui suit. Commençons par
écrire
∆
u i χ
k
= (∆u i )χ
k + u i
∆χ
k
+ 2∇u i · ∇χ
k ,
et analysons chaque terme du membre de droite. On voit tout d’abord que
∆u i = −λ i u i et donc que (∆u i )χ
k = −λ i u i χ
k
∈ H
1
0 (Ω
k ) ; il est clair par
ailleurs que (∆χ
k )u i ∈ H
1
0 (Ω
k ) d’après la régularité de χ
k . Enfin, les seules
singularités de u i sont aux sommets de Ω, justement là où χ
k est localement
constant (nul ou égal à 1), le gradient de χ
k y est donc nul et ∇u i ∇χ
k est
ainsi très régulière, et de ce fait, en particulier, un élément de H
1 (Ω
k ). Il
reste à prouver que ∇u i · ∇χ
k est nulle au bord. On se place tout d’abord sur
∂Ω ∩ ∂Ω
k et on y choisit des coordonnées locales ; on note τ et n les vecteurs
tangent et normal à la frontière. On a alors
∇u i · ∇χ
k =
∂u i
∂τ
∂χ
k
∂τ
+
∂u i
∂n
∂χ
k
∂n
et on note que la nullité de u i au bord ∂Ω entraîne que
∂ui
∂τ est nul sur ∂Ω ;
de même,
∂χ
k
∂τ
est nul sur ∂Ω
k
\ ∂Ω puisque χ
k y est nul. Le second terme ci
dessus est aussi nul car
∂χ
k
∂n
a été choisi nul sur tout ∂Ω
k . En fait, on peut
montrer plus généralement que
Lemme 7.1 Pour toute partition {χ
k
} k=1,2,3 régulière et satisfaisant (7.7)
et toute fonction propre u i du problème (7.1), on a, pour tout p ∈ IN et pour
tout k = 1, 2, 3, ∆
p (χ
k u i ) ∈ H
1
0 (Ω
k ). De plus, il existe une constante c, ne
dépendant que de la partition de l’unité χ k et de p, telle que
∀k, ∀i, ∆
p (χ
k u i ) H 1
0 (Ω k ) ≤ c(λ
p
i + 1).
(7.13)
On déduit alors de (7.12) que
inf
v k
n ∈X k
n
i χ
k
− v
k
n H 1
0 (Ω k ) ≤ c
λ i
λ k
n+1
p
,
ce qui est une convergence d’ordre p, pour tout p. En sommant sur k, on
conclut donc qu’il existe une constante c, ne dépendant que de p, telle que
sup
vN ∈XN
u j − v n H 1 (Ω) ≤ c sup
k=1,2,3
λ i
λ k
n+1
p
d’où un ordre de convergence “infini”, puisque, rappelons-le, les λ
k
n tendent
vers l’infini comme n
2/d .